1. **Enunciado do problema:** Queremos mostrar que a superfície gerada pela rotação da curva $y = x^{-1}$, com $x \in [1, \infty)$, em torno do eixo $x$ tem área externa infinita e volume finito. 2. **Fórmulas importantes:** - Área da superfície de revolução em torno do eixo $x$: $$A = 2\pi \int_1^{\infty} y \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx$$ - Volume da superfície de revolução em torno do eixo $x$: $$V = \pi \int_1^{\infty} y^2 \, dx$$ 3. **Derivada de $y$:** Dado $y = x^{-1}$, temos $$\frac{dy}{dx} = -x^{-2}$$ 4. **Cálculo da área:** Substituindo na fórmula da área: $$A = 2\pi \int_1^{\infty} x^{-1} \sqrt{1 + (-x^{-2})^2} \, dx = 2\pi \int_1^{\infty} x^{-1} \sqrt{1 + x^{-4}} \, dx$$ Note que $\sqrt{1 + x^{-4}} > 1$, então $$A > 2\pi \int_1^{\infty} x^{-1} \, dx = 2\pi \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{1}{x} \, dx = 2\pi \lim_{b \to \infty} [\ln x]_1^b = 2\pi \lim_{b \to \infty} \ln b = \infty$$ Portanto, a área da superfície é infinita. 5. **Cálculo do volume:** Substituindo na fórmula do volume: $$V = \pi \int_1^{\infty} (x^{-1})^2 \, dx = \pi \int_1^{\infty} x^{-2} \, dx = \pi \lim_{b \to \infty} \int_1^b x^{-2} \, dx$$ Calculando a integral: $$\int_1^b x^{-2} \, dx = \left[-x^{-1}\right]_1^b = 1 - \frac{1}{b}$$ Logo, $$V = \pi \lim_{b \to \infty} \left(1 - \frac{1}{b}\right) = \pi (1 - 0) = \pi$$ Portanto, o volume da superfície é finito e igual a $\pi$. **Conclusão:** A trombeta de Torricelli tem área externa infinita e volume finito, conforme demonstrado pelas integrais impróprias.