1. El problema es encontrar la serie de Taylor o expansión en serie de potencias de la función $e^x$ alrededor de $x=0$ (también llamada serie de Maclaurin). 2. La fórmula general para la serie de Taylor de una función $f(x)$ alrededor de $x=a$ es: $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$ En este caso, $a=0$, por lo que la serie de Maclaurin es: $$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{(n)}(0)}{n!}x^n$$ 3. La función $e^x$ es especial porque todas sus derivadas son iguales a $e^x$. Por lo tanto, evaluando en $x=0$: $$f^{(n)}(0) = e^0 = 1$$ 4. Sustituyendo en la serie: $$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} x^n = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$ 5. Esta serie converge para todo $x$ y es la expansión en serie de potencias de $e^x$ alrededor de 0. Respuesta final: $$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$