1. Planteamos el problema: Encontrar puntos máximos, mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión e intervalos de concavidad para la función $$f(x) = -2x^3 + 9x^2 + 60x$$. 2. Derivamos la función para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 9x^2 + 60x) = -6x^2 + 18x + 60$$ 3. Igualamos la derivada a cero para encontrar puntos críticos: $$-6x^2 + 18x + 60 = 0$$ Dividimos todo entre -6: $$x^2 - 3x - 10 = 0$$ Factorizamos: $$(x - 5)(x + 2) = 0$$ Por lo tanto, los puntos críticos son: $$x = 5 \quad y \quad x = -2$$ 4. Calculamos la segunda derivada para determinar concavidad y puntos de inflexión: $$f''(x) = \frac{d}{dx}(-6x^2 + 18x + 60) = -12x + 18$$ 5. Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos para clasificar máximos y mínimos: - En $$x=5$$: $$f''(5) = -12(5) + 18 = -60 + 18 = -42 < 0$$, por lo que hay un máximo local en $$x=5$$. - En $$x=-2$$: $$f''(-2) = -12(-2) + 18 = 24 + 18 = 42 > 0$$, por lo que hay un mínimo local en $$x=-2$$. 6. Encontramos los valores de la función en los puntos críticos: - $$f(5) = -2(5)^3 + 9(5)^2 + 60(5) = -2(125) + 9(25) + 300 = -250 + 225 + 300 = 275$$ - $$f(-2) = -2(-2)^3 + 9(-2)^2 + 60(-2) = -2(-8) + 9(4) - 120 = 16 + 36 - 120 = -68$$ 7. Encontramos puntos de inflexión resolviendo $$f''(x) = 0$$: $$-12x + 18 = 0 \Rightarrow x = \frac{18}{12} = 1.5$$ 8. Determinamos intervalos de crecimiento y decrecimiento usando la primera derivada: - Para $$x < -2$$, evaluamos $$f'(-3) = -6(9) + 18(-3) + 60 = -54 -54 + 60 = -48 < 0$$, decrece. - Para $$-2 < x < 5$$, evaluamos $$f'(0) = 60 > 0$$, crece. - Para $$x > 5$$, evaluamos $$f'(6) = -6(36) + 18(6) + 60 = -216 + 108 + 60 = -48 < 0$$, decrece. 9. Determinamos intervalos de concavidad usando la segunda derivada: - Para $$x < 1.5$$, evaluamos $$f''(0) = 18 > 0$$, concava hacia arriba. - Para $$x > 1.5$$, evaluamos $$f''(2) = -24 + 18 = -6 < 0$$, concava hacia abajo. Resumen: - Máximo local en $$(5, 275)$$ - Mínimo local en $$(-2, -68)$$ - Punto de inflexión en $$x=1.5$$ - Crece en $$(-2, 5)$$ - Decrece en $$(-\infty, -2) \cup (5, \infty)$$ - Concavidad hacia arriba en $$(-\infty, 1.5)$$ - Concavidad hacia abajo en $$(1.5, \infty)$$