1. Calcule el límite aplicando la regla de L’Hopital: a) $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$$ - Derivamos numerador y denominador: Numerador: $\frac{d}{dx}(\sin x - x) = \cos x - 1$ Denominador: $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$ - Evaluamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2}$$ - Aplica L’Hopital otra vez porque da $\frac{0}{0}$: Numerador: $\frac{d}{dx}(\cos x - 1) = -\sin x$ Denominador: $\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$ - Nuevo límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x}$$ - Aplica L’Hopital otra vez: Numerador: $\frac{d}{dx}(-\sin x) = -\cos x$ Denominador: $\frac{d}{dx}(6x) = 6$ - Evaluamos límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{6} = \frac{-1}{6}$$ Respuesta a) $-\frac{1}{6}$ b) $$\lim_{x \to \infty} \frac{5x + 2 \ln x}{x + 3 \ln x}$$ - Derivamos numerador y denominador: Numerador: $\frac{d}{dx}(5x + 2 \ln x) = 5 + \frac{2}{x}$ Denominador: $\frac{d}{dx}(x + 3 \ln x) = 1 + \frac{3}{x}$ - Nuevo límite: $$\lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{3}{x}} = \frac{5 + 0}{1 + 0} = 5$$ Respuesta b) $5$ 2. Velocidad de crecimiento del área del círculo: - Radio $r$ crece a $\frac{dr}{dt} = 30$ cm/s = 0.3 m/s - Área del círculo: $A = \pi r^2$ - Derivamos respecto al tiempo: $$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$$ - Cuando $r = 1$ m: $$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (1)(0.3) = 0.6 \pi$$ Respuesta 2: $0.6 \pi$ m$^2$/s 3. Velocidad de aumento del nivel del agua en el tanque cónico: - Volumen del cono: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ - Relación entre $r$ y $h$ por semejanza: $$\frac{r}{h} = \frac{1}{3} \Rightarrow r = \frac{h}{3}$$ - Sustituimos en $V$: $$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{h}{3}\right)^2 h = \frac{1}{3} \pi \frac{h^2}{9} h = \frac{\pi}{27} h^3$$ - Derivamos respecto al tiempo: $$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{27} 3 h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{9} h^2 \frac{dh}{dt}$$ - Dato: $\frac{dV}{dt} = 0.008$ m$^3$/s, $h = 2$ m - Despejamos $\frac{dh}{dt}$: $$\frac{dh}{dt} = \frac{\frac{dV}{dt}}{\frac{\pi}{9} h^2} = \frac{0.008}{\frac{\pi}{9} (2)^2} = \frac{0.008}{\frac{\pi}{9} 4} = \frac{0.008}{\frac{4\pi}{9}} = \frac{0.008 \times 9}{4 \pi} = \frac{0.072}{4 \pi} = \frac{0.018}{\pi}$$ Respuesta 3: $\frac{0.018}{\pi}$ m/s