1. Vamos calcular o limite a) $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2^n}\right)^{2^{n+1}}$$. 2. Observe que $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n$. Podemos reescrever a expressão como $$\left(1 + \frac{1}{2^n}\right)^{2 \cdot 2^n} = \left[\left(1 + \frac{1}{2^n}\right)^{2^n}\right]^2$$. 3. Sabemos que $$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$, onde $e$ é a base do logaritmo natural. 4. Aplicando essa propriedade, temos $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2^n}\right)^{2^n} = e$$. 5. Portanto, o limite original é $$\lim_{n \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{2^n}\right)^{2^n}\right]^2 = e^2$$. 6. Agora, vamos calcular o limite b) $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n+3}\right)^n$$. 7. Para grandes valores de $n$, $n+3 \approx n$, então $$\left(1 + \frac{1}{n+3}\right)^n \approx \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$. 8. Usando a mesma propriedade do limite notável, temos $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$. 9. Portanto, $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n+3}\right)^n = e$$. **Resposta final:** - a) $$e^2$$ - b) $$e$$