1. Planteamos el problema: calcular el límite $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - (x - 1)^2}{\sqrt{x}}$$. 2. Observamos que al sustituir directamente $x=0$, el numerador es $e^0 - (0 - 1)^2 = 1 - 1 = 0$ y el denominador es $\sqrt{0} = 0$, por lo que tenemos una forma indeterminada $\frac{0}{0}$. 3. Para resolver límites con forma indeterminada $\frac{0}{0}$, aplicamos la regla de L'Hôpital, que dice que el límite es igual al límite del cociente de las derivadas del numerador y denominador, siempre que este límite exista. 4. Derivamos el numerador: $$\frac{d}{dx} \left(e^x - (x - 1)^2\right) = e^x - 2(x - 1)$$. 5. Derivamos el denominador: $$\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$. 6. Aplicamos la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 2(x - 1)}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to 0} \left(e^x - 2(x - 1)\right) \cdot 2\sqrt{x}$$. 7. Evaluamos el límite: al acercarnos a $0$, $e^x \to 1$, $2(x - 1) \to -2$, y $2\sqrt{x} \to 0$, por lo que el producto es $(1 - (-2)) \cdot 0 = 3 \cdot 0 = 0$. 8. Sin embargo, el límite de la forma $0$ indica que debemos verificar si la regla de L'Hôpital se puede aplicar nuevamente o si el límite es $0$. 9. Para confirmar, podemos hacer un análisis más detallado o usar series de Taylor para aproximar: - $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$ - $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ Entonces el numerador es: $$e^x - (x - 1)^2 \approx \left(1 + x + \frac{x^2}{2}\right) - \left(x^2 - 2x + 1\right) = 1 + x + \frac{x^2}{2} - x^2 + 2x - 1 = 3x - \frac{x^2}{2}$$ 10. El denominador es $\sqrt{x}$. 11. Por lo tanto, el límite es: $$\lim_{x \to 0} \frac{3x - \frac{x^2}{2}}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{x(3 - \frac{x}{2})}{x^{1/2}} = \lim_{x \to 0} x^{1/2} (3 - \frac{x}{2}) = 0$$ 12. Concluimos que el límite es $0$. Respuesta final: $$\boxed{0}$$