1. El problema es calcular el límite $$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ donde $$f(x) = \frac{2x^2 + 3x + 1}{x+1}$$.\n\n2. Primero evaluamos $$f(x+h)$$ sustituyendo $$x+h$$ en la función:\n$$f(x+h) = \frac{2(x+h)^2 + 3(x+h) + 1}{(x+h)+1} = \frac{2(x^2 + 2xh + h^2) + 3x + 3h + 1}{x + h + 1}$$\n\n3. Expandimos y simplificamos el numerador:\n$$2x^2 + 4xh + 2h^2 + 3x + 3h + 1$$\nEntonces:\n$$f(x+h) = \frac{2x^2 + 4xh + 2h^2 + 3x + 3h + 1}{x + h + 1}$$\n\n4. Ya tenemos $$f(x) = \frac{2x^2 + 3x + 1}{x + 1}$$. Calculamos el cociente dado en el límite:\n$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{\frac{2x^2 + 4xh + 2h^2 + 3x + 3h + 1}{x + h + 1} - \frac{2x^2 + 3x + 1}{x + 1}}{h}$$\n\n5. Para restar fracciones, usamos común denominador $$(x+h+1)(x+1)$$:\n$$\frac{(2x^2 + 4xh + 2h^2 + 3x + 3h + 1)(x + 1) - (2x^2 + 3x + 1)(x + h + 1)}{h (x + h + 1)(x + 1)}$$\n\n6. Expandimos ambos productos en el numerador:\nPrimero:\n$$(2x^2 + 4xh + 2h^2 + 3x + 3h + 1)(x + 1) = 2x^3 + 2x^2 + 4xhx + 4xh + 2h^2x + 2h^2 + 3x^2 + 3x + 3hx + 3h + x + 1$$\nSimplificando términos: $$2x^3 + 2x^2 + 4x^2h + 4xh + 2xh^2 + 2h^2 + 3x^2 + 3x + 3xh + 3h + x + 1$$\n\n7. Segundo producto:\n$$(2x^2 + 3x + 1)(x + h + 1) = (2x^2 + 3x + 1)(x + 1 + h) = (2x^2 + 3x + 1)(x + 1) + (2x^2 + 3x + 1)h$$\nExpandiendo primero: $$2x^3 + 2x^2 + 3x^2 + 3x + x + 1$$ que simplifica a $$2x^3 + 5x^2 + 4x + 1$$\nY luego sumamos el término con $$h$$: $$+ (2x^2 + 3x + 1)h$$\n\n8. Entonces el numerador completo se vuelve:\n$$[2x^3 + 2x^2 + 4x^2h + 4xh + 2xh^2 + 2h^2 + 3x^2 + 3x + 3xh + 3h + x + 1] - [2x^3 + 5x^2 + 4x + 1 + (2x^2 + 3x + 1)h]$$\nSimplificamos restando términos comunes:\n$$2x^3 - 2x^3 = 0$$, $$1 - 1 = 0$$\n$$2x^2 + 3x^2 = 5x^2$$ que resta con $$-5x^2$$ se cancela\n$$3x + x = 4x$$ que resta con $$-4x$$ se cancela\nLos términos de $$h$$:\n$$4x^2h + 4xh + 2xh^2 + 2h^2 + 3xh + 3h - (2x^2 + 3x + 1)h$$\n\n9. Agrupamos términos por potencia de $$h$$:\nPara $$h$$:\n$$4x^2h + 4xh + 3xh + 3h - 2x^2h - 3xh - 1h = (4x^2h - 2x^2h) + (4xh + 3xh - 3xh) + (3h - h) = 2x^2h + 4xh + 2h$$\nPara $$h^2$$:\n$$2xh^2 + 2h^2 = 2h^2(x + 1)$$\n\n10. El numerador es entonces:\n$$2x^2h + 4xh + 2h + 2h^2(x + 1)$$\nFactorizamos $$h$$:\n$$h(2x^2 + 4x + 2) + 2h^2(x + 1)$$\n\n11. El límite es\n$$\lim_{h \to 0} \frac{h(2x^2 + 4x + 2) + 2h^2(x + 1)}{h (x + h + 1)(x + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x^2 + 4x + 2) + 2h^2(x + 1)}{h (x + h + 1)(x + 1)}$$\nCancelamos $$h$$ en numerador y denominador:\n$$\lim_{h \to 0} \frac{2x^2 + 4x + 2 + 2h(x + 1)}{(x + h + 1)(x + 1)}$$\n\n12. Al hacer $$h \to 0$$:\n$$\frac{2x^2 + 4x + 2}{(x + 1)^2}$$\n\n13. Resultado final:\n$$\boxed{\frac{2x^2 + 4x + 2}{(x + 1)^2}}$$ es el valor del límite solicitado, que corresponde a la derivada de $$f(x)$$.