1. O problema pede para determinar o valor do limite $$\lim_{x \to -1} \frac{g(x) - g(-1)}{2x^2 + 2x}$$. 2. Sabemos que a reta tangente à função no ponto de abcissa $$-1$$ tem equação $$y = \frac{9}{8}x - \frac{3}{4}$$. 3. O coeficiente angular da reta tangente é $$\frac{9}{8}$$, que é igual à derivada $$g'(-1)$$. 4. O valor de $$g(-1)$$ pode ser encontrado substituindo $$x = -1$$ na equação da reta tangente: $$g(-1) = \frac{9}{8}(-1) - \frac{3}{4} = -\frac{9}{8} - \frac{6}{8} = -\frac{15}{8}$$. 5. O limite dado é da forma do quociente diferencial da função, pois o denominador pode ser fatorado: $$2x^2 + 2x = 2x(x+1)$$. 6. Quando $$x \to -1$$, o denominador $$2x(x+1) \to 0$$, e o numerador $$g(x) - g(-1) \to 0$$, então podemos usar a regra de L'Hôpital ou analisar o comportamento da função. 7. Para facilitar, note que $$2x^2 + 2x = 2x(x+1)$$ e quando $$x \to -1$$, $$x+1 \to 0$$. 8. Vamos reescrever o limite como: $$\lim_{x \to -1} \frac{g(x) - g(-1)}{2x(x+1)} = \lim_{x \to -1} \frac{g(x) - g(-1)}{x+1} \cdot \frac{1}{2x}$$. 9. O primeiro fator $$\lim_{x \to -1} \frac{g(x) - g(-1)}{x+1}$$ é a definição da derivada $$g'(-1) = \frac{9}{8}$$. 10. O segundo fator $$\lim_{x \to -1} \frac{1}{2x} = \frac{1}{2(-1)} = -\frac{1}{2}$$. 11. Portanto, o limite é: $$\frac{9}{8} \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{9}{16}$$. Resposta final: $$\boxed{-\frac{9}{16}}$$.