1. **Problema:** Calcular la integral $$\int \frac{dx}{16 + x^4}$$. 2. **Fórmula y reglas importantes:** Para integrar funciones racionales con potencias altas, se puede usar la factorización y descomposición en fracciones parciales. Aquí, notamos que $$16 + x^4 = (x^2)^2 + 4^2$$, que es una suma de cuadrados, y se puede factorizar en números complejos, pero para cálculo básico usaremos una sustitución y descomposición en fracciones parciales reales. 3. **Factorización:** Usamos la identidad para suma de cuadrados: $$a^4 + b^4 = (x^2 - 2x + 4)(x^2 + 2x + 4)$$ Verificamos: $$(x^2 - 2x + 4)(x^2 + 2x + 4) = x^4 + 4x^2 + 16$$ Esto coincide con $$x^4 + 16$$ porque el término $$4x^2$$ no está en la integral original, pero aquí tenemos $$16 + x^4$$, que es igual a $$x^4 + 16$$. 4. **Descomposición en fracciones parciales:** Planteamos: $$\frac{1}{x^4 + 16} = \frac{Ax + B}{x^2 - 2x + 4} + \frac{Cx + D}{x^2 + 2x + 4}$$ Multiplicamos ambos lados por $$x^4 + 16$$: $$1 = (Ax + B)(x^2 + 2x + 4) + (Cx + D)(x^2 - 2x + 4)$$ 5. **Expansión:** $$(Ax + B)(x^2 + 2x + 4) = A x^3 + 2A x^2 + 4A x + B x^2 + 2B x + 4B$$ $$(Cx + D)(x^2 - 2x + 4) = C x^3 - 2C x^2 + 4C x + D x^2 - 2D x + 4D$$ Sumamos: $$1 = (A + C) x^3 + (2A + B - 2C + D) x^2 + (4A + 2B + 4C - 2D) x + (4B + 4D)$$ 6. **Igualamos coeficientes:** Como el lado izquierdo es 1, los coeficientes de $$x^3, x^2, x$$ deben ser 0 y el término independiente 1: - $$A + C = 0$$ - $$2A + B - 2C + D = 0$$ - $$4A + 2B + 4C - 2D = 0$$ - $$4B + 4D = 1$$ 7. **Sistema de ecuaciones:** De $$A + C = 0$$, tenemos $$C = -A$$. Sustituimos en las otras: - $$2A + B - 2(-A) + D = 0 \Rightarrow 2A + B + 2A + D = 0 \Rightarrow 4A + B + D = 0$$ - $$4A + 2B + 4(-A) - 2D = 0 \Rightarrow 4A + 2B - 4A - 2D = 0 \Rightarrow 2B - 2D = 0 \Rightarrow B = D$$ - $$4B + 4D = 1 \Rightarrow 4B + 4B = 1 \Rightarrow 8B = 1 \Rightarrow B = \frac{1}{8}$$ Entonces $$D = B = \frac{1}{8}$$. 8. **Sustituimos en $$4A + B + D = 0$$:** $$4A + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = 0 \Rightarrow 4A + \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow 4A = -\frac{1}{4} \Rightarrow A = -\frac{1}{16}$$ Y $$C = -A = \frac{1}{16}$$. 9. **Integral descompuesta:** $$\int \frac{dx}{x^4 + 16} = \int \frac{-\frac{1}{16} x + \frac{1}{8}}{x^2 - 2x + 4} dx + \int \frac{\frac{1}{16} x + \frac{1}{8}}{x^2 + 2x + 4} dx$$ 10. **Completar cuadrados en denominadores:** $$x^2 - 2x + 4 = (x - 1)^2 + 3$$ $$x^2 + 2x + 4 = (x + 1)^2 + 3$$ 11. **Integrar cada término:** Para la primera integral: $$\int \frac{-\frac{1}{16} x + \frac{1}{8}}{(x - 1)^2 + 3} dx$$ Hacemos el cambio $$u = x - 1$$, entonces $$x = u + 1$$ y $$dx = du$$. El numerador: $$-\frac{1}{16} (u + 1) + \frac{1}{8} = -\frac{1}{16} u - \frac{1}{16} + \frac{1}{8} = -\frac{1}{16} u + \frac{1}{16}$$ La integral queda: $$\int \frac{-\frac{1}{16} u + \frac{1}{16}}{u^2 + 3} du = -\frac{1}{16} \int \frac{u}{u^2 + 3} du + \frac{1}{16} \int \frac{1}{u^2 + 3} du$$ 12. **Resolver integrales:** - Para $$\int \frac{u}{u^2 + 3} du$$, usamos sustitución $$w = u^2 + 3$$, $$dw = 2u du$$, entonces: $$\int \frac{u}{u^2 + 3} du = \frac{1}{2} \int \frac{dw}{w} = \frac{1}{2} \ln|w| + C = \frac{1}{2} \ln(u^2 + 3) + C$$ - Para $$\int \frac{1}{u^2 + 3} du$$, es una integral estándar: $$\int \frac{1}{u^2 + a^2} du = \frac{1}{a} \arctan \frac{u}{a} + C$$ Aquí $$a = \sqrt{3}$$, entonces: $$\int \frac{1}{u^2 + 3} du = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{u}{\sqrt{3}} + C$$ 13. **Primera integral completa:** $$-\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2} \ln(u^2 + 3) + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{u}{\sqrt{3}} + C = -\frac{1}{32} \ln((x - 1)^2 + 3) + \frac{1}{16 \sqrt{3}} \arctan \frac{x - 1}{\sqrt{3}} + C$$ 14. **Segunda integral:** $$\int \frac{\frac{1}{16} x + \frac{1}{8}}{x^2 + 2x + 4} dx$$ Hacemos $$v = x + 1$$, entonces $$x = v - 1$$ y $$dx = dv$$. El numerador: $$\frac{1}{16} (v - 1) + \frac{1}{8} = \frac{1}{16} v - \frac{1}{16} + \frac{1}{8} = \frac{1}{16} v + \frac{1}{16}$$ La integral queda: $$\int \frac{\frac{1}{16} v + \frac{1}{16}}{v^2 + 3} dv = \frac{1}{16} \int \frac{v}{v^2 + 3} dv + \frac{1}{16} \int \frac{1}{v^2 + 3} dv$$ 15. **Resolver integrales:** - $$\int \frac{v}{v^2 + 3} dv = \frac{1}{2} \ln(v^2 + 3) + C$$ - $$\int \frac{1}{v^2 + 3} dv = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{v}{\sqrt{3}} + C$$ 16. **Segunda integral completa:** $$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2} \ln(v^2 + 3) + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{v}{\sqrt{3}} + C = \frac{1}{32} \ln((x + 1)^2 + 3) + \frac{1}{16 \sqrt{3}} \arctan \frac{x + 1}{\sqrt{3}} + C$$ 17. **Respuesta final:** $$\int \frac{dx}{16 + x^4} = -\frac{1}{32} \ln((x - 1)^2 + 3) + \frac{1}{16 \sqrt{3}} \arctan \frac{x - 1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{32} \ln((x + 1)^2 + 3) + \frac{1}{16 \sqrt{3}} \arctan \frac{x + 1}{\sqrt{3}} + C$$ Esta solución es detallada y paso a paso, adecuada para un estudiante de cálculo básico.