1. El problema es calcular la integral definida $$\int_1^2 \frac{1}{x^2 \sqrt{1+x^2}} \, dx$$. 2. Para resolver esta integral, usaremos una sustitución trigonométrica. Observamos que la raíz cuadrada tiene la forma $$\sqrt{1+x^2}$$, que sugiere usar $$x = \tan(\theta)$$, porque $$1+\tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$$. 3. Hacemos la sustitución: - $$x = \tan(\theta)$$ - $$dx = \sec^2(\theta) d\theta$$ - $$\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+\tan^2(\theta)} = \sec(\theta)$$ 4. Cambiamos los límites de integración: - Cuando $$x=1$$, $$\theta = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$$ - Cuando $$x=2$$, $$\theta = \arctan(2)$$ 5. Reescribimos la integral: $$\int_{\pi/4}^{\arctan(2)} \frac{1}{\tan^2(\theta) \cdot \sec(\theta)} \cdot \sec^2(\theta) d\theta = \int_{\pi/4}^{\arctan(2)} \frac{\sec^2(\theta)}{\tan^2(\theta) \sec(\theta)} d\theta = \int_{\pi/4}^{\arctan(2)} \frac{\sec(\theta)}{\tan^2(\theta)} d\theta$$ 6. Usamos las identidades trigonométricas: - $$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$$ - $$\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}$$ Entonces: $$\frac{\sec(\theta)}{\tan^2(\theta)} = \frac{\frac{1}{\cos(\theta)}}{\left(\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\right)^2} = \frac{\frac{1}{\cos(\theta)}}{\frac{\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)}} = \frac{1}{\cos(\theta)} \cdot \frac{\cos^2(\theta)}{\sin^2(\theta)} = \frac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}$$ 7. La integral queda: $$\int_{\pi/4}^{\arctan(2)} \frac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)} d\theta$$ 8. Usamos la sustitución $$u = \sin(\theta)$$, entonces $$du = \cos(\theta) d\theta$$. 9. Cambiamos los límites para $$u$$: - Cuando $$\theta = \frac{\pi}{4}$$, $$u = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ - Cuando $$\theta = \arctan(2)$$, $$u = \sin(\arctan(2))$$. Para calcular esto, consideramos un triángulo rectángulo donde el cateto opuesto es 2 y el adyacente es 1, entonces la hipotenusa es $$\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$$, por lo que $$\sin(\arctan(2)) = \frac{2}{\sqrt{5}}$$. 10. La integral en términos de $$u$$ es: $$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{2}{\sqrt{5}}} \frac{1}{u^2} du = \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{2}{\sqrt{5}}} u^{-2} du$$ 11. Integramos: $$\int u^{-2} du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{u} + C$$ 12. Evaluamos en los límites: $$-\frac{1}{u} \Big|_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{2}{\sqrt{5}}} = -\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{5}}} + \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{2}{\sqrt{2}}$$ 13. Simplificamos $$\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$, entonces: $$-\frac{\sqrt{5}}{2} + \sqrt{2}$$ 14. Por lo tanto, el valor de la integral es: $$\boxed{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}$$