1. Vamos calcular a integral $$\int x^{2} e^{4x} \, dx$$ usando o método de integração por partes. 2. A fórmula da integração por partes é: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 3. Escolhemos: - $$u = x^{2}$$, então $$du = 2x \, dx$$ - $$dv = e^{4x} \, dx$$, então $$v = \frac{e^{4x}}{4}$$ (pois $$\int e^{4x} dx = \frac{e^{4x}}{4}$$) 4. Aplicando a fórmula: $$\int x^{2} e^{4x} dx = x^{2} \cdot \frac{e^{4x}}{4} - \int \frac{e^{4x}}{4} \cdot 2x \, dx = \frac{x^{2} e^{4x}}{4} - \frac{1}{2} \int x e^{4x} dx$$ 5. Agora precisamos calcular $$\int x e^{4x} dx$$, novamente por partes: - $$u = x$$, então $$du = dx$$ - $$dv = e^{4x} dx$$, então $$v = \frac{e^{4x}}{4}$$ 6. Aplicando a fórmula novamente: $$\int x e^{4x} dx = x \cdot \frac{e^{4x}}{4} - \int \frac{e^{4x}}{4} dx = \frac{x e^{4x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{4x} dx$$ 7. Sabemos que $$\int e^{4x} dx = \frac{e^{4x}}{4}$$, então: $$\int x e^{4x} dx = \frac{x e^{4x}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{e^{4x}}{4} = \frac{x e^{4x}}{4} - \frac{e^{4x}}{16}$$ 8. Substituindo de volta na expressão original: $$\int x^{2} e^{4x} dx = \frac{x^{2} e^{4x}}{4} - \frac{1}{2} \left( \frac{x e^{4x}}{4} - \frac{e^{4x}}{16} \right) = \frac{x^{2} e^{4x}}{4} - \frac{x e^{4x}}{8} + \frac{e^{4x}}{32} + C$$ 9. Portanto, a integral é: $$\boxed{\int x^{2} e^{4x} dx = e^{4x} \left( \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{8} + \frac{1}{32} \right) + C}$$