1. **Problema:** Calcular a integral $$\int \frac{1}{1 - x^2} \, dx$$ usando frações parciais. 2. **Fórmula e regras importantes:** Para integrar uma função racional, podemos decompor o denominador em fatores lineares e usar frações parciais. Aqui, $$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$$. 3. **Decomposição em frações parciais:** $$\frac{1}{1 - x^2} = \frac{1}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{A}{1 - x} + \frac{B}{1 + x}$$ Multiplicando ambos os lados por $$ (1 - x)(1 + x) $$: $$1 = A(1 + x) + B(1 - x)$$ 4. **Encontrar A e B:** Para $$x = 1$$: $$1 = A(1 + 1) + B(1 - 1) = 2A + 0 \Rightarrow A = \frac{1}{2}$$ Para $$x = -1$$: $$1 = A(1 - 1) + B(1 + 1) = 0 + 2B \Rightarrow B = \frac{1}{2}$$ 5. **Integral com frações parciais:** $$\int \frac{1}{1 - x^2} \, dx = \int \frac{1/2}{1 - x} \, dx + \int \frac{1/2}{1 + x} \, dx$$ 6. **Integrar cada termo:** Lembre que $$\int \frac{1}{a - x} \, dx = -\ln|a - x| + C$$ e $$\int \frac{1}{a + x} \, dx = \ln|a + x| + C$$. Assim: $$\int \frac{1/2}{1 - x} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} \, dx = -\frac{1}{2} \ln|1 - x| + C$$ $$\int \frac{1/2}{1 + x} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} \, dx = \frac{1}{2} \ln|1 + x| + C$$ 7. **Resposta final:** $$\int \frac{1}{1 - x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln|1 + x| - \frac{1}{2} \ln|1 - x| + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + x}{1 - x} \right| + C$$