1. El problema es calcular la integral $$E=\int \frac{9x-12}{x^2+3x-70} \, dx$$ usando fracciones parciales. 2. Primero, factorizamos el denominador: $$x^2+3x-70 = (x+10)(x-7)$$. 3. Planteamos la descomposición en fracciones parciales: $$\frac{9x-12}{(x+10)(x-7)} = \frac{A}{x+10} + \frac{B}{x-7}$$. 4. Multiplicamos ambos lados por el denominador común para eliminar fracciones: $$9x-12 = A(x-7) + B(x+10)$$. 5. Expandimos y agrupamos términos: $$9x-12 = A x - 7A + B x + 10 B = (A+B)x + (-7A + 10 B)$$. 6. Igualamos coeficientes: Para $x$: $9 = A + B$ Para término independiente: $-12 = -7A + 10 B$ 7. Resolvemos el sistema: De $9 = A + B$, tenemos $B = 9 - A$. Sustituimos en la segunda ecuación: $$-12 = -7A + 10(9 - A) = -7A + 90 - 10A = 90 - 17A$$ $$-12 - 90 = -17A \Rightarrow -102 = -17A \Rightarrow A = 6$$ Entonces, $B = 9 - 6 = 3$. 8. La integral queda: $$E = \int \frac{6}{x+10} \, dx + \int \frac{3}{x-7} \, dx$$. 9. Integramos cada término: $$E = 6 \ln|x+10| + 3 \ln|x-7| + C$$ donde $C$ es la constante de integración. Respuesta final: $$E = 6 \ln|x+10| + 3 \ln|x-7| + C$$