1. **Problema:** Calcular as primitivas por partes das integrais: (a) $\int x \cos x \, dx$ (b) $\int 2x e^{1+2x} \, dx$ 2. **Fórmula de Integração por Partes:** $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Escolhemos $u$ e $dv$ para facilitar a integral. 3. **Resolução do item (a):** - Escolha: $u = x$ e $dv = \cos x \, dx$ - Derivada: $du = dx$ - Integral: $v = \sin x$ Aplicando a fórmula: $$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx$$ A integral restante é: $$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$$ Logo: $$\int x \cos x \, dx = x \sin x + \cos x + C$$ 4. **Resolução do item (b):** - Integral: $\int 2x e^{1+2x} \, dx$ - Escolha: $u = x$ e $dv = 2 e^{1+2x} \, dx$ - Derivada: $du = dx$ - Para $v$, integramos $dv$: $$v = \int 2 e^{1+2x} \, dx$$ Fazendo substituição $t = 1 + 2x$, então $dt = 2 dx$, ou $dx = \frac{dt}{2}$: $$v = \int 2 e^t \frac{dt}{2} = \int e^t dt = e^t + C = e^{1+2x} + C$$ Aplicando a fórmula: $$\int 2x e^{1+2x} \, dx = x e^{1+2x} - \int e^{1+2x} \, dx$$ A integral restante: $$\int e^{1+2x} \, dx$$ Usando a mesma substituição $t=1+2x$, $dt=2 dx$, $dx=\frac{dt}{2}$: $$\int e^{1+2x} \, dx = \int e^t \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} e^t + C = \frac{1}{2} e^{1+2x} + C$$ Portanto: $$\int 2x e^{1+2x} \, dx = x e^{1+2x} - \frac{1}{2} e^{1+2x} + C$$ **Resposta final:** (a) $\int x \cos x \, dx = x \sin x + \cos x + C$ (b) $\int 2x e^{1+2x} \, dx = x e^{1+2x} - \frac{1}{2} e^{1+2x} + C$