1. Problema 2a: Determinar o domínio e contradomínio da função $h(x) = |\pi + g(x)| - \pi$, onde $g(x) = -\frac{\pi}{2} - 3 \arccos(2x - 1)$.\n\n2. Domínio de $g(x)$: A função $\arccos$ é definida para argumentos em $[-1,1]$, então $2x - 1 \in [-1,1]$.\n\n3. Resolvendo para $x$: $-1 \leq 2x - 1 \leq 1 \Rightarrow 0 \leq x \leq 1$. Portanto, o domínio de $g$ e $h$ é $[0,1]$.\n\n4. Contradomínio de $g$: $\arccos$ varia de $0$ a $\pi$, então $3 \arccos(2x - 1)$ varia de $0$ a $3\pi$. Assim, $g(x)$ varia de $-\frac{\pi}{2} - 0 = -\frac{\pi}{2}$ até $-\frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{7\pi}{2}$.\n\n5. Calculando $h(x) = |\pi + g(x)| - \pi$:\n\n6. Como $g(x) \in [-\frac{7\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$, então $\pi + g(x) \in [-\frac{5\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.\n\n7. O valor absoluto $|\pi + g(x)|$ varia de $0$ a $\frac{5\pi}{2}$.\n\n8. Portanto, $h(x)$ varia de $-\pi$ (quando $|\pi + g(x)|=0$) até $\frac{5\pi}{2} - \pi = \frac{3\pi}{2}$.\n\n9. Resposta 2a: Domínio $[0,1]$, contradomínio $[-\pi, \frac{3\pi}{2}]$.\n\n10. Problema 2b: Caracterizar a função inversa de $g$.\n\n11. $g(x) = -\frac{\pi}{2} - 3 \arccos(2x - 1)$. Isolando $\arccos(2x - 1)$:\n$$\arccos(2x - 1) = -\frac{1}{3} \left(g(x) + \frac{\pi}{2}\right)$$\n\n12. Aplicando $\cos$ em ambos os lados:\n$$2x - 1 = \cos\left(-\frac{1}{3} \left(y + \frac{\pi}{2}\right)\right)$$\n\n13. Como $\cos$ é par,\n$$2x - 1 = \cos\left(\frac{1}{3} \left(y + \frac{\pi}{2}\right)\right)$$\n\n14. Isolando $x$:\n$$x = \frac{1}{2} \left(1 + \cos\left(\frac{1}{3} \left(y + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)$$\n\n15. Portanto, a inversa $g^{-1}(y) = \frac{1}{2} \left(1 + \cos\left(\frac{1}{3} \left(y + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)$.\n\n16. Problema 2c: Equação da reta tangente à curva $g$ no ponto de ordenada $-\frac{3\pi}{2}$.\n\n17. Encontrar $x_0$ tal que $g(x_0) = -\frac{3\pi}{2}$.\n\n18. $-\frac{3\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} - 3 \arccos(2x_0 - 1) \Rightarrow -3\arccos(2x_0 - 1) = -\pi \Rightarrow \arccos(2x_0 - 1) = \frac{\pi}{3}$.\n\n19. $2x_0 - 1 = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \Rightarrow x_0 = \frac{3}{4}$.\n\n20. Derivada de $g$:\n$$g'(x) = -3 \cdot \frac{d}{dx} \arccos(2x - 1) = -3 \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{1 - (2x - 1)^2}}\right) = \frac{6}{\sqrt{1 - (2x - 1)^2}}$$\n\n21. Avaliando em $x_0 = \frac{3}{4}$:\n$$g'\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{6}{\sqrt{1 - (2 \cdot \frac{3}{4} - 1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{1 - (\frac{3}{2} - 1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2}} = \frac{6}{\sqrt{\frac{3}{4}}} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3}$$\n\n22. Equação da reta tangente:\n$$y - y_0 = m(x - x_0) \Rightarrow y + \frac{3\pi}{2} = 4\sqrt{3} \left(x - \frac{3}{4}\right)$$\n\n23. Problema 2d: Diferencial de $y = g(x)$ para $x = \frac{1}{4}$.\n\n24. $dy = g'(x) dx$, com $g'(x)$ calculado no passo 20.\n\n25. Avaliando $g'\left(\frac{1}{4}\right)$:\n$$g'\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{6}{\sqrt{1 - (2 \cdot \frac{1}{4} - 1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{1 - (-\frac{1}{2})^2}} = \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3}$$\n\n26. Portanto, diferencial:\n$$dy = 4\sqrt{3} dx$$\n\n27. Problema 2e: Calcular $\frac{dy}{dt}$ em $t=1$ sabendo $y = g(x)$, $x = \sin\left(\frac{\pi}{6} z\right)$, $z = e^{-\ln(t)}$.\n\n28. Simplificando $z$: $z = e^{-\ln(t)} = e^{\ln(t^{-1})} = t^{-1}$.\n\n29. Logo, $x = \sin\left(\frac{\pi}{6} t^{-1}\right)$.\n\n30. Derivada composta:\n$$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dz} \cdot \frac{dz}{dt}$$\n\n31. Calculando cada termo:\n$$\frac{dy}{dx} = g'(x) = \frac{6}{\sqrt{1 - (2x - 1)^2}}$$\n$$\frac{dx}{dz} = \cos\left(\frac{\pi}{6} z\right) \cdot \frac{\pi}{6}$$\n$$\frac{dz}{dt} = -t^{-2}$$\n\n32. Avaliando em $t=1$, então $z=1$, $x = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.\n\n33. Calculando $g'(x)$ em $x=\frac{1}{2}$:\n$$g'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{6}{\sqrt{1 - (2 \cdot \frac{1}{2} - 1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{1 - 0^2}} = 6$$\n\n34. Calculando $\frac{dx}{dz}$ em $z=1$:\n$$\frac{dx}{dz} = \cos\left(\frac{\pi}{6} \cdot 1\right) \cdot \frac{\pi}{6} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi \sqrt{3}}{12}$$\n\n35. Calculando $\frac{dz}{dt}$ em $t=1$:\n$$\frac{dz}{dt} = -1^{-2} = -1$$\n\n36. Portanto,\n$$\frac{dy}{dt}\bigg|_{t=1} = 6 \cdot \frac{\pi \sqrt{3}}{12} \cdot (-1) = -\frac{6 \pi \sqrt{3}}{12} = -\frac{\pi \sqrt{3}}{2}$$\n\n37. Problema 3a: Mostrar que $\frac{dy}{dx} = \frac{e^{2t} - 1}{e^{2t} + 1}$ para $x(t) = e^t - e^{-t}$ e $y(t) = e^t + e^{-t}$, $t > 0$.\n\n38. Derivadas:\n$$\frac{dx}{dt} = e^t + e^{-t}$$\n$$\frac{dy}{dt} = e^t - e^{-t}$$\n\n39. Usando regra da função composta:\n$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{e^t - e^{-t}}{e^t + e^{-t}}$$\n\n40. Multiplicando numerador e denominador por $e^t$:\n$$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{2t} - 1}{e^{2t} + 1}$$\n\n41. Problema 3b: Calcular $\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)$, $\frac{d^2 y}{dx^2}$ e $\frac{d}{dy}\left(\frac{dy}{dx}\right)$.\n\n42. Derivando $\frac{dy}{dx}$ em relação a $t$:\n$$u = e^{2t}, \quad f(t) = \frac{u - 1}{u + 1}$$\n\n43. Derivada de $f(t)$:\n$$f'(t) = \frac{(u + 1)(2u) - (u - 1)(2u)}{(u + 1)^2} = \frac{2u(u + 1 - u + 1)}{(u + 1)^2} = \frac{4u}{(u + 1)^2} \cdot \frac{du}{dt}$$\n\n44. Como $u = e^{2t}$, $\frac{du}{dt} = 2e^{2t} = 2u$, então\n$$f'(t) = \frac{4u}{(u + 1)^2} \cdot 2u = \frac{8u^2}{(u + 1)^2}$$\n\n45. Portanto,\n$$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{8 e^{4t}}{(e^{2t} + 1)^2}$$\n\n46. Para $\frac{d^2 y}{dx^2}$, usamos\n$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}} = \frac{8 e^{4t}/(e^{2t} + 1)^2}{e^t + e^{-t}} = \frac{8 e^{4t}}{(e^{2t} + 1)^2 (e^t + e^{-t})}$$\n\n47. Para $\frac{d}{dy}\left(\frac{dy}{dx}\right)$, usamos regra da cadeia:\n$$\frac{d}{dy}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dy}{dt}} = \frac{8 e^{4t}/(e^{2t} + 1)^2}{e^t - e^{-t}} = \frac{8 e^{4t}}{(e^{2t} + 1)^2 (e^t - e^{-t})}$$\n\n48. Problema 4: Aproximação para $\sqrt{9,1}$ usando diferencial.\n\n49. Seja $f(x) = \sqrt{x}$, queremos aproximar $f(9,1)$ usando $x_0 = 9$.\n\n50. $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, então\n$$f'(9) = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$$\n\n51. Diferença $\Delta x = 9,1 - 9 = 0,1$.\n\n52. Aproximação:\n$$f(9,1) \approx f(9) + f'(9) \Delta x = 3 + \frac{1}{6} \cdot 0,1 = 3 + 0,0167 = 3,0167$$\n\nResposta final: $\sqrt{9,1} \approx 3,0167$.