1. **Enunciado do problema:** Calcular as derivadas parciais de $f(x,y) = (x - y^2)^2$ nos pontos $(1,0)$ para $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $(2,1)$ para $\frac{\partial f}{\partial y}$ usando a definição, e confirmar os resultados usando as regras de derivação. 2. **Definição da derivada parcial em relação a $x$ no ponto $(1,0)$:** $$\frac{\partial f}{\partial x}(1,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h,0) - f(1,0)}{h}$$ Calcule $f(1+h,0)$: $$f(1+h,0) = ((1+h) - 0^2)^2 = (1+h)^2 = 1 + 2h + h^2$$ E $f(1,0) = (1 - 0)^2 = 1$ Logo, $$\frac{f(1+h,0) - f(1,0)}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = 2 + h$$ Tomando o limite quando $h \to 0$: $$\frac{\partial f}{\partial x}(1,0) = 2$$ 3. **Definição da derivada parcial em relação a $y$ no ponto $(2,1)$:** $$\frac{\partial f}{\partial y}(2,1) = \lim_{k \to 0} \frac{f(2,1+k) - f(2,1)}{k}$$ Calcule $f(2,1+k)$: $$f(2,1+k) = (2 - (1+k)^2)^2 = (2 - (1 + 2k + k^2))^2 = (1 - 2k - k^2)^2$$ Expanda: $$= 1 - 4k - 2k^2 + 4k^2 + k^4 = 1 - 4k + 2k^2 + k^4$$ Calcule $f(2,1) = (2 - 1^2)^2 = (2 - 1)^2 = 1$ Logo, $$\frac{f(2,1+k) - f(2,1)}{k} = \frac{1 - 4k + 2k^2 + k^4 - 1}{k} = \frac{-4k + 2k^2 + k^4}{k} = -4 + 2k + k^3$$ Tomando o limite quando $k \to 0$: $$\frac{\partial f}{\partial y}(2,1) = -4$$ 4. **Confirmação usando regras de derivação:** A função é $f(x,y) = (x - y^2)^2$. - Derivada parcial em relação a $x$: $$\frac{\partial f}{\partial x} = 2(x - y^2) \cdot 1 = 2(x - y^2)$$ No ponto $(1,0)$: $$\frac{\partial f}{\partial x}(1,0) = 2(1 - 0) = 2$$ - Derivada parcial em relação a $y$: $$\frac{\partial f}{\partial y} = 2(x - y^2) \cdot (-2y) = -4y(x - y^2)$$ No ponto $(2,1)$: $$\frac{\partial f}{\partial y}(2,1) = -4 \cdot 1 \cdot (2 - 1) = -4$$ 5. **Conclusão:** Os resultados obtidos pela definição coincidem com os obtidos pelas regras de derivação. **Resposta final:** $$\frac{\partial f}{\partial x}(1,0) = 2, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(2,1) = -4$$