1. Planteamos el problema: calcular la derivada segunda de la función $f(x)$ en $x=0$, donde $$f(x) = \begin{cases} \frac{e^{x^3} - 1}{x}, & x < 0 \\ \frac{2x^2}{x+1}, & x \geq 0 \end{cases}$$ 2. Para derivar funciones definidas por partes, primero verificamos continuidad y derivabilidad en $x=0$. 3. Calculamos el límite de $f(x)$ cuando $x \to 0^-$: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{x^3} - 1}{x}$$ Usamos la expansión de $e^{x^3} = 1 + x^3 + \frac{x^6}{2} + \cdots$, entonces: $$\frac{e^{x^3} - 1}{x} = \frac{x^3 + \frac{x^6}{2} + \cdots}{x} = x^2 + \frac{x^5}{2} + \cdots \to 0$$ 4. Calculamos el valor de $f(0)$ por la definición para $x \geq 0$: $$f(0) = \frac{2 \cdot 0^2}{0 + 1} = 0$$ Por lo tanto, $f$ es continua en $x=0$. 5. Calculamos la derivada izquierda $f'(0^-)$ usando la definición: $$f'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{e^{h^3} - 1}{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{e^{h^3} - 1}{h^2}$$ Expandiendo $e^{h^3} - 1 = h^3 + \frac{h^6}{2} + \cdots$, entonces: $$\frac{e^{h^3} - 1}{h^2} = \frac{h^3 + \frac{h^6}{2} + \cdots}{h^2} = h + \frac{h^4}{2} + \cdots \to 0$$ 6. Calculamos la derivada derecha $f'(0^+)$: $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x^2}{x+1} \right) = \frac{(4x)(x+1) - 2x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{4x^2 + 4x - 2x^2}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 4x}{(x+1)^2}$$ Evaluando en $x=0$: $$f'(0^+) = \frac{0 + 0}{1^2} = 0$$ 7. Como $f'(0^-)=f'(0^+)=0$, $f'(x)$ es continua en $x=0$. 8. Calculamos la derivada segunda por la izquierda: $$f''(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f'(h) - f'(0)}{h}$$ Primero, derivamos $f(x)$ para $x<0$: $$f(x) = \frac{e^{x^3} - 1}{x}$$ Usamos la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{3x^2 e^{x^3} \cdot x - (e^{x^3} - 1)}{x^2} = \frac{3x^3 e^{x^3} - e^{x^3} + 1}{x^2}$$ Evaluamos el límite cuando $x \to 0^-$: Expandiendo $e^{x^3} = 1 + x^3 + \frac{x^6}{2} + \cdots$: $$3x^3 e^{x^3} = 3x^3 (1 + x^3 + \cdots) = 3x^3 + 3x^6 + \cdots$$ $$3x^3 e^{x^3} - e^{x^3} + 1 = 3x^3 + 3x^6 - (1 + x^3 + \cdots) + 1 = 3x^3 + 3x^6 - 1 - x^3 + \cdots + 1 = 2x^3 + 3x^6 + \cdots$$ Por lo tanto: $$f'(x) = \frac{2x^3 + 3x^6 + \cdots}{x^2} = 2x + 3x^4 + \cdots \to 0$$ 9. Derivamos $f'(x)$ para $x<0$ para obtener $f''(x)$: $$f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{3x^3 e^{x^3} - e^{x^3} + 1}{x^2} \right)$$ Usamos la regla del cociente y producto, pero para evaluar en $x=0$ usamos la expansión: $$f'(x) = 2x + 3x^4 + \cdots$$ Entonces: $$f''(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f'(x) - f'(0)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2x + 3x^4 - 0}{x} = \lim_{x \to 0^-} (2 + 3x^3) = 2$$ 10. Calculamos la derivada segunda por la derecha: $$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x^2 + 4x}{(x+1)^2} \right)$$ Usamos la regla del cociente: $$f''(x) = \frac{(4x + 4)(x+1)^2 - (2x^2 + 4x) 2(x+1)}{(x+1)^4}$$ Simplificamos y evaluamos en $x=0$: $$f''(0) = \frac{(4 \cdot 0 + 4)(1)^2 - (0 + 0) 2(1)}{1^4} = 4$$ 11. Concluimos que la derivada segunda en $x=0$ no es continua, pero la derivada segunda por la izquierda es 2 y por la derecha es 4. 12. La derivada segunda de $f$ en $x=0$ no existe como límite único, pero si se pide el valor de la derivada segunda por la izquierda o derecha, son 2 y 4 respectivamente. Respuesta final: La derivada segunda de $f$ en $x=0$ por la izquierda es $2$ y por la derecha es $4$.