1. Planteamos el problema: Derivar la función $$y=\sqrt{\ln\left(\sqrt{\tan\left(x^4+1\right)}\right)}$$. 2. Recordemos que para derivar una función compuesta usamos la regla de la cadena: $$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$$. 3. Definamos las funciones internas para facilitar la derivación: - Sea $$u=\sqrt{\tan\left(x^4+1\right)}$$, - luego $$v=\ln(u)$$, - y finalmente $$y=\sqrt{v}$$. 4. Derivamos paso a paso: - Derivada de $$y=\sqrt{v}$$ es $$\frac{dy}{dv}=\frac{1}{2\sqrt{v}}$$. - Derivada de $$v=\ln(u)$$ es $$\frac{dv}{du}=\frac{1}{u}$$. - Derivada de $$u=\sqrt{\tan\left(x^4+1\right)}=\left(\tan\left(x^4+1\right)\right)^{1/2}$$ es $$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{\tan\left(x^4+1\right)}}\cdot \sec^2\left(x^4+1\right)\cdot 4x^3$$ (usando regla de la cadena y derivada de $$\tan$$). 5. Multiplicamos todas las derivadas para obtener $$\frac{dy}{dx}$$: $$ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{\ln\left(\sqrt{\tan\left(x^4+1\right)}\right)}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\tan\left(x^4+1\right)}} \cdot \sec^2\left(x^4+1\right) \cdot 2x^3 $$ 6. Simplificamos el factor $$\frac{1}{2} \cdot 4x^3 = 2x^3$$ y expresamos la derivada final: $$ \boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{2x^3 \sec^2\left(x^4+1\right)}{\sqrt{\ln\left(\sqrt{\tan\left(x^4+1\right)}\right)} \cdot \sqrt{\tan\left(x^4+1\right)}}} $$ Esta es la derivada de la función dada.