1. Planteamos el problema: Encontrar la derivada implícita $y'$ de la ecuación $$x^2 + xy + y^2 = 7x - y.$$ 2. Recordemos que para derivar implícitamente, derivamos ambos lados respecto a $x$, considerando que $y$ es función de $x$ (por lo que al derivar $y$ usamos la regla de la cadena: $\frac{d}{dx}y = y'$). 3. Derivamos término a término: - Derivada de $x^2$ es $2x$. - Derivada de $xy$ usando producto: $x \cdot y' + y \cdot 1 = xy' + y$. - Derivada de $y^2$ usando cadena: $2y y'$. - Derivada de $7x$ es $7$. - Derivada de $-y$ es $-y'$. 4. Escribimos la derivada completa: $$2x + xy' + y + 2y y' = 7 - y'.$$ 5. Agrupamos términos con $y'$ a un lado y los demás al otro: $$xy' + 2y y' + y' = 7 - y - 2x$$ $$y'(x + 2y + 1) = 7 - y - 2x$$ 6. Despejamos $y'$: $$y' = \frac{7 - y - 2x}{x + 2y + 1} = \frac{7 - y - 2x}{x + 2y + 1}.$$ 7. Simplificamos el numerador para comparar con las opciones: $$7 - y - 2x = -(2x + y - 7).$$ 8. Por lo tanto, $$y' = - \frac{2x + y - 7}{x + 2y + 1}.$$ Esta expresión corresponde a la derivada implícita correcta. Respuesta final: $$y' = - \frac{2x + y - 7}{x + 2y + 1}.$$