1. Planteamos el problema: Encontrar $\frac{dy}{dx}$ para la función implícita $$x + 3 = 2x^2 - 2xy + 1 + \sen(y)$$ 2. Usamos derivación implícita, que consiste en derivar ambos lados respecto a $x$, recordando que $y$ es función de $x$, por lo que al derivar términos con $y$ aplicamos la regla de la cadena: $\frac{d}{dx}[y] = \frac{dy}{dx}$. 3. Derivamos término a término: - Derivada de $x$ es 1. - Derivada de 3 es 0. - Derivada de $2x^2$ es $4x$. - Derivada de $-2xy$ usando producto: $-2\left(y + x\frac{dy}{dx}\right)$. - Derivada de 1 es 0. - Derivada de $\sen(y)$ es $\cos(y)\frac{dy}{dx}$. 4. Escribimos la derivada completa: $$1 = 4x - 2\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) + \cos(y)\frac{dy}{dx}$$ 5. Expandimos y agrupamos términos con $\frac{dy}{dx}$: $$1 = 4x - 2y - 2x\frac{dy}{dx} + \cos(y)\frac{dy}{dx}$$ 6. Pasamos términos sin $\frac{dy}{dx}$ al lado izquierdo: $$1 - 4x + 2y = -2x\frac{dy}{dx} + \cos(y)\frac{dy}{dx}$$ 7. Factorizamos $\frac{dy}{dx}$ en el lado derecho: $$1 - 4x + 2y = \left(-2x + \cos(y)\right)\frac{dy}{dx}$$ 8. Despejamos $\frac{dy}{dx}$: $$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 4x + 2y}{-2x + \cos(y)}$$ Respuesta final: $$\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 4x + 2y}{-2x + \cos(y)}}$$ Esta es la derivada implícita de la función dada.