1. El problema es encontrar la derivada $f'(x)$ de la función $$f(x) = e^{2x} \ln x^2.$$\n\n2. Primero, recordemos que $\ln x^2 = 2 \ln x$ para $x > 0$. Entonces podemos reescribir la función como $$f(x) = e^{2x} \cdot 2 \ln x = 2 e^{2x} \ln x.$$\n\n3. Para derivar $f(x)$, aplicamos la regla del producto: $$f'(x) = u'v + uv',$$ donde $$u = 2 e^{2x}$$ y $$v = \ln x.$$\n\n4. Derivamos cada parte:\n- $$u' = 2 \cdot 2 e^{2x} = 4 e^{2x}.$$\n- $$v' = \frac{1}{x}.$$\n\n5. Sustituimos en la regla del producto:\n$$f'(x) = 4 e^{2x} \ln x + 2 e^{2x} \cdot \frac{1}{x} = 4 e^{2x} \ln x + \frac{2 e^{2x}}{x}.$$\n\n6. Recordando que $\ln x^2 = 2 \ln x$, podemos escribir $$4 e^{2x} \ln x = 2 e^{2x} \cdot 2 \ln x = 2 e^{2x} \ln x^2.$$\n\n7. Por lo tanto, la derivada es $$f'(x) = 2 e^{2x} \ln x^2 + \frac{2 e^{2x}}{x}.$$\n\n8. La opción correcta es la primera: $$2 e^{2x} \ln x^2 + \frac{2 e^{2x}}{x}.$$