1. Enunciado del problema: Derivar la función $$f(x) = \sqrt{x^2 + 3x} e^x$$. 2. Reescribimos la función para facilitar la derivación: $$f(x) = (x^2 + 3x)^{\frac{1}{2}} e^x$$. 3. Identificamos que la función es producto de dos funciones: $$u(x) = (x^2 + 3x)^{\frac{1}{2}}$$ y $$v(x) = e^x$$. 4. Usamos la regla del producto para derivar: $$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$. 5. Derivamos $$u(x)$$ usando la regla de la cadena: - Primero, derivada de la potencia: $$\frac{1}{2}(x^2 + 3x)^{-\frac{1}{2}}$$. - Luego, derivada interior: $$2x + 3$$. Por tanto, $$u'(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 3x)^{-\frac{1}{2}}(2x+3)$$. 6. Derivada de $$v(x) = e^x$$ es simplemente $$v'(x) = e^x$$. 7. Sustituimos las derivadas en la fórmula del producto: $$f'(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 3x)^{-\frac{1}{2}}(2x+3)e^x + (x^2 + 3x)^{\frac{1}{2}} e^x$$. 8. Factorizamos $$e^x$$ para simplificar: $$f'(x) = e^x \left( \frac{2x+3}{2\sqrt{x^2 + 3x}} + \sqrt{x^2 + 3x} \right)$$. 9. Combinamos términos dentro del paréntesis usando el común denominador $$2\sqrt{x^2 + 3x}$$: $$f'(x) = e^x \left( \frac{2x+3 + 2(x^2 + 3x)}{2\sqrt{x^2 + 3x}} \right)$$. 10. Simplificamos el numerador: $$2x + 3 + 2x^2 + 6x = 2x^2 + 8x + 3$$. 11. Resultado final: $$f'(x) = e^x \frac{2x^2 + 8x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x}}$$.