1. **Planteamiento del problema:** Se nos da la gráfica de la derivada $f'(x)$ de una función $f(x)$ y se nos pide determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos locales, concavidad, puntos de inflexión y graficar $f(x)$ asumiendo $f(0)=0$. 2. **Reglas importantes:** - $f$ crece donde $f'(x) > 0$. - $f$ decrece donde $f'(x) < 0$. - Máximos locales ocurren donde $f'(x)$ cambia de positivo a negativo. - Mínimos locales ocurren donde $f'(x)$ cambia de negativo a positivo. - La concavidad de $f$ se determina por el signo de $f''(x)$, que es la derivada de $f'(x)$. - Puntos de inflexión ocurren donde $f''(x)$ cambia de signo. 3. **Análisis de la gráfica de $f'(x)$:** - $f'(x)$ es positivo en $[0,3.5)$ y negativo en $(3.5,5)$, luego positivo en $(5,8]$. - $f'(x)$ tiene un mínimo local alrededor de $x=3.5$. - $f'(x)$ cruza el eje $x$ en $x=5$. 4. **Respuestas:** (a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$: - $f$ crece donde $f'(x) > 0$: en $[0,3.5)$ y $(5,8]$. - $f$ decrece donde $f'(x) < 0$: en $(3.5,5)$. (b) Valores de $x$ con máximos y mínimos locales de $f$: - Máximo local en $x=3.5$ (porque $f'(x)$ cambia de positivo a negativo). - Mínimo local en $x=5$ (porque $f'(x)$ cambia de negativo a positivo). (c) Concavidad de $f$: - La concavidad hacia arriba ocurre donde $f''(x) = (f'(x))'$ es positiva. - Observando $f'(x)$, su pendiente es positiva en $(0,3.5)$ y $(5,8)$, y negativa en $(3.5,5)$. - Por lo tanto, $f$ es cóncava hacia arriba en $(0,3.5)$ y $(5,8)$. - $f$ es cóncava hacia abajo en $(3.5,5)$. (d) Puntos de inflexión: - Ocurren donde $f''(x)$ cambia de signo, es decir, donde la pendiente de $f'(x)$ cambia. - Esto sucede en $x=3.5$ y $x=5$. (e) Graficar $f$ con $f(0)=0$: - $f$ crece desde $0$ hasta $3.5$, alcanza un máximo local en $3.5$, decrece hasta $5$, alcanza un mínimo local en $5$, y luego crece nuevamente. **Respuesta final:** (a) Crece en $[0,3.5)$ y $(5,8]$. Decrece en $(3.5,5)$. (b) Máximo local en $x=3.5$. Mínimo local en $x=5$. (c) Concava hacia arriba en $(0,3.5)$ y $(5,8)$. Concava hacia abajo en $(3.5,5)$. (d) Puntos de inflexión en $x=3.5,5$. (e) Graficar según indicaciones.