1. Planteamos el problema: Dada la función $$f(x)=x^{4}-6x^{2}$$, debemos encontrar la concavidad, los puntos de inflexión y aplicar el criterio de la segunda derivada. 2. Recordemos que la concavidad de una función se determina con la segunda derivada $$f''(x)$$: - Si $$f''(x)>0$$, la función es cóncava hacia arriba. - Si $$f''(x)<0$$, la función es cóncava hacia abajo. - Los puntos donde $$f''(x)=0$$ y cambia de signo son puntos de inflexión. 3. Calculamos la primera derivada: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{4}-6x^{2}) = 4x^{3} - 12x$$ 4. Calculamos la segunda derivada: $$f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^{3} - 12x) = 12x^{2} - 12$$ 5. Encontramos los puntos donde $$f''(x)=0$$: $$12x^{2} - 12 = 0 \implies 12x^{2} = 12 \implies x^{2} = 1 \implies x = \pm 1$$ 6. Analizamos el signo de $$f''(x)$$ en los intervalos: - Para $$x < -1$$, por ejemplo $$x=-2$$: $$f''(-2) = 12(4) - 12 = 48 - 12 = 36 > 0$$ (cóncava hacia arriba) - Para $$-1 < x < 1$$, por ejemplo $$x=0$$: $$f''(0) = 12(0) - 12 = -12 < 0$$ (cóncava hacia abajo) - Para $$x > 1$$, por ejemplo $$x=2$$: $$f''(2) = 12(4) - 12 = 48 - 12 = 36 > 0$$ (cóncava hacia arriba) 7. Por lo tanto, los puntos $$x = -1$$ y $$x = 1$$ son puntos de inflexión porque la concavidad cambia. 8. Calculamos los valores de la función en esos puntos para obtener los puntos de inflexión completos: $$f(-1) = (-1)^{4} - 6(-1)^{2} = 1 - 6 = -5$$ $$f(1) = (1)^{4} - 6(1)^{2} = 1 - 6 = -5$$ Respuesta final: - La función es cóncava hacia arriba en $$(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$$. - La función es cóncava hacia abajo en $$(-1, 1)$$. - Los puntos de inflexión son $$(-1, -5)$$ y $$(1, -5)$$. Criterio de la segunda derivada aplicado correctamente para determinar concavidad y puntos de inflexión.