1. Planteamos el problema: hallar el área de la región R delimitada por la función $$f(x) = \frac{6 - 2x}{\sqrt{16 + 6x - x^2}}$$, el eje x y el eje y. 2. Para encontrar el área bajo la curva desde el eje y (x=0) hasta donde la función cruza el eje x, primero determinamos los puntos de intersección con el eje x. Esto ocurre cuando $$f(x) = 0$$. 3. Igualamos el numerador a cero (ya que el denominador no puede ser cero ni negativo dentro del dominio): $$6 - 2x = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$$ 4. Verificamos el dominio para que el radicando sea positivo: $$16 + 6x - x^2 > 0$$ 5. Reordenamos la desigualdad: $$-x^2 + 6x + 16 > 0 \implies x^2 - 6x - 16 < 0$$ 6. Calculamos las raíces de $$x^2 - 6x - 16 = 0$$: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2}$$ 7. Las raíces son: $$x = 8 \quad \text{y} \quad x = -2$$ 8. Por lo tanto, el dominio donde la función está definida es $$-2 < x < 8$$. Nuestro intervalo de integración es de $$0$$ a $$3$$ porque la región R está entre el eje y (x=0) y el punto donde la función cruza el eje x (x=3). 9. El área bajo la curva se calcula con la integral: $$A = \int_0^3 \frac{6 - 2x}{\sqrt{16 + 6x - x^2}} \, dx$$ 10. Para resolver esta integral, hacemos el cambio de variable: $$u = 16 + 6x - x^2$$ 11. Derivamos: $$\frac{du}{dx} = 6 - 2x \implies du = (6 - 2x) dx$$ 12. Entonces: $$dx = \frac{du}{6 - 2x}$$ 13. Sustituyendo en la integral: $$A = \int_{u(0)}^{u(3)} \frac{6 - 2x}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{6 - 2x} = \int_{u(0)}^{u(3)} u^{-1/2} du$$ 14. Calculamos los nuevos límites: $$u(0) = 16 + 6(0) - 0 = 16$$ $$u(3) = 16 + 6(3) - 9 = 16 + 18 - 9 = 25$$ 15. La integral queda: $$A = \int_{16}^{25} u^{-1/2} du = \left[ 2 u^{1/2} \right]_{16}^{25} = 2(\sqrt{25} - \sqrt{16}) = 2(5 - 4) = 2$$ 16. Por lo tanto, el área de la región R es $$2$$ unidades cuadradas.