1. **Planteamiento del problema:** Calcular el área de una cerca cuya altura varía según la función $f(x,y) = xy$, y cuya base está dada por la trayectoria de la circunferencia $x^2 + y^2 = 25$ en el primer y segundo cuadrante. 2. **Modelo de la integral para el área de la cerca:** El área de la cerca se calcula integrando la altura sobre la longitud de la base. La base es la semicircunferencia superior de radio 5 (porque $x^2 + y^2 = 25$). La integral de línea para el área es: $$ A = \int_C f(x,y) \, ds = \int_C xy \, ds $$ Donde $C$ es la curva $x^2 + y^2 = 25$, con $y \geq 0$. 3. **Parametrización de la curva $C$:** Usamos la parametrización polar para la semicircunferencia superior: $$ x = 5 \cos t, \quad y = 5 \sin t, \quad t \in [0, \pi] $$ 4. **Cálculo de $ds$:** El diferencial de arco es: $$ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt $$ Calculamos: $$ \frac{dx}{dt} = -5 \sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 5 \cos t $$ Entonces: $$ ds = \sqrt{(-5 \sin t)^2 + (5 \cos t)^2} dt = \sqrt{25 \sin^2 t + 25 \cos^2 t} dt = \sqrt{25} dt = 5 dt $$ 5. **Sustitución en la integral:** $$ A = \int_0^{\pi} (5 \cos t)(5 \sin t) (5) dt = 125 \int_0^{\pi} \cos t \sin t \, dt $$ 6. **Evaluación de la integral:** Usamos la identidad: $$ \sin(2t) = 2 \sin t \cos t \Rightarrow \sin t \cos t = \frac{\sin(2t)}{2} $$ Entonces: $$ A = 125 \int_0^{\pi} \frac{\sin(2t)}{2} dt = \frac{125}{2} \int_0^{\pi} \sin(2t) dt $$ Calculamos la integral: $$ \int_0^{\pi} \sin(2t) dt = \left[-\frac{\cos(2t)}{2}\right]_0^{\pi} = -\frac{\cos(2\pi) - \cos(0)}{2} = -\frac{1 - 1}{2} = 0 $$ Por lo tanto: $$ A = \frac{125}{2} \times 0 = 0 $$ 7. **Interpretación:** El resultado cero indica que la integral de línea de $xy$ sobre la semicircunferencia es cero, lo que no tiene sentido para un área. Esto ocurre porque $xy$ cambia de signo en la curva y la integral de línea no es la forma correcta para calcular el área de la cerca. 8. **Corrección: Cálculo del área de la superficie de la cerca (superficie lateral):** La cerca es una superficie sobre la curva $C$ con altura $f(x,y) = xy$. Para calcular el área de la superficie lateral, debemos usar la fórmula del área de superficie sobre una curva en el plano xy: Si la cerca es vertical con altura $z = f(x,y)$, el área lateral es: $$ S = \int_C f(x,y) \, dl $$ Pero para una cerca vertical, el área lateral es la integral de la altura multiplicada por el diferencial de arco, que es lo que intentamos. Sin embargo, para pintar ambos lados, el área total es el doble de la longitud de la base multiplicada por la altura promedio. 9. **Cálculo de la longitud de la base $L$:** La base es la semicircunferencia de radio 5, entonces: $$ L = \pi \times 5 = 5\pi $$ 10. **Cálculo de la altura promedio:** La altura promedio sobre la semicircunferencia es: $$ \bar{h} = \frac{1}{L} \int_C f(x,y) \, ds = \frac{1}{5\pi} \int_0^{\pi} 25 \cos t \sin t \times 5 dt = \frac{125}{5\pi} \int_0^{\pi} \cos t \sin t dt = \frac{25}{\pi} \times 0 = 0 $$ Como antes, la altura promedio es cero porque $xy$ cambia de signo en la semicircunferencia. 11. **Conclusión:** La función $f(x,y) = xy$ es positiva en el primer cuadrante ($x>0, y>0$) y negativa en el segundo cuadrante ($x<0, y>0$). Por lo tanto, para calcular el área de la cerca, debemos integrar solo en el primer cuadrante donde $xy \geq 0$. 12. **Integral en el primer cuadrante:** Parametrizamos $t \in [0, \frac{\pi}{2}]$: $$ A = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 125 \cos t \sin t dt = 125 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t \sin t dt $$ Usamos la identidad: $$ \int \cos t \sin t dt = \frac{1}{2} \sin^2 t $$ Entonces: $$ A = 125 \times \frac{1}{2} \left[ \sin^2 t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{125}{2} (1 - 0) = \frac{125}{2} = 62.5 $$ 13. **Costo de pintar la cerca por ambos lados:** La cerca tiene área $A = 62.5$ metros cuadrados en el primer cuadrante. Por simetría, el área en el segundo cuadrante es igual en valor absoluto, pero la altura es negativa, no se pinta esa parte. Janet quiere pintar ambos lados de la cerca del primer cuadrante, entonces el área total a pintar es: $$ 2 \times 62.5 = 125 $$ El costo es: $$ 125 \times 20 = 2500 $$ **Respuesta final:** - a) La integral para el área de la cerca en el primer cuadrante es: $$ A = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 125 \cos t \sin t dt = 62.5 $$ - b) Janet debe pagar 2500 por pintar ambos lados de la cerca en el primer cuadrante.