1. Problema: Analizar las funciones dadas para encontrar puntos máximos, mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión, intervalos de concavidad y trazar la gráfica. 2. Fórmulas y reglas importantes: - Derivada primera $f'(x)$ para encontrar puntos críticos (máximos y mínimos). - Derivada segunda $f''(x)$ para determinar concavidad y puntos de inflexión. - Puntos críticos donde $f'(x)=0$. - Puntos de inflexión donde $f''(x)=0$ y cambia de signo. --- ### a) $f(x) = -2x^3 + 9x^2 + 60x$ 1. Derivada primera: $$f'(x) = -6x^2 + 18x + 60$$ 2. Encontrar puntos críticos: $$-6x^2 + 18x + 60 = 0 \Rightarrow x^2 - 3x - 10 = 0$$ $$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$$ $$x_1 = 5, \quad x_2 = -2$$ 3. Derivada segunda: $$f''(x) = -12x + 18$$ 4. Evaluar concavidad en puntos críticos: $$f''(5) = -60 + 18 = -42 < 0 \Rightarrow \text{máximo en } x=5$$ $$f''(-2) = 24 + 18 = 42 > 0 \Rightarrow \text{mínimo en } x=-2$$ 5. Puntos: $$f(5) = -2(125) + 9(25) + 60(5) = -250 + 225 + 300 = 275$$ $$f(-2) = -2(-8) + 9(4) + 60(-2) = 16 + 36 - 120 = -68$$ 6. Puntos de inflexión: $$f''(x) = 0 \Rightarrow -12x + 18 = 0 \Rightarrow x = 1.5$$ 7. Intervalos de crecimiento/decrecimiento: - Crece donde $f'(x) > 0$: intervalos $(-\infty, -2)$ y $(5, \infty)$ - Decrece donde $f'(x) < 0$: intervalo $(-2, 5)$ 8. Concavidad: - Cóncava hacia arriba donde $f''(x) > 0$: $x < 1.5$ - Cóncava hacia abajo donde $f''(x) < 0$: $x > 1.5$ --- ### b) $f(x) = x^4 - 4x^3$ 1. Derivada primera: $$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$$ 2. Puntos críticos: $$x=0, x=3$$ 3. Derivada segunda: $$f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)$$ 4. Evaluar concavidad en puntos críticos: $$f''(0) = 0$$ (posible punto de inflexión) $$f''(3) = 36 - 72 = -36 < 0 \Rightarrow \text{máximo en } x=3$$ 5. Evaluar $f$ en puntos críticos: $$f(0) = 0$$ $$f(3) = 81 - 108 = -27$$ 6. Puntos de inflexión: $$f''(x) = 0 \Rightarrow x=0, x=2$$ 7. Intervalos de crecimiento/decrecimiento: - Crece en $(3, \infty)$ y $(-\infty, 0)$ - Decrece en $(0, 3)$ 8. Concavidad: - Cóncava hacia arriba en $(-\infty, 0)$ y $(2, \infty)$ - Cóncava hacia abajo en $(0, 2)$ --- ### c) $f(x) = (x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1$ 1. Derivada primera: $$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)$$ 2. Puntos críticos: $$x=0, x=\pm 1$$ 3. Derivada segunda: $$f''(x) = 12x^2 - 4$$ 4. Evaluar concavidad en puntos críticos: $$f''(0) = -4 < 0 \Rightarrow \text{máximo en } x=0$$ $$f''(\pm 1) = 12 - 4 = 8 > 0 \Rightarrow \text{mínimos en } x=\pm 1$$ 5. Valores de $f$: $$f(0) = 1$$ $$f(\pm 1) = 0$$ 6. Puntos de inflexión: $$f''(x) = 0 \Rightarrow 12x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$ 7. Intervalos de crecimiento/decrecimiento: - Crece en $(-\infty, -1)$ y $(0, 1)$ - Decrece en $(-1, 0)$ y $(1, \infty)$ 8. Concavidad: - Cóncava hacia arriba en $(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}})$ y $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \infty)$ - Cóncava hacia abajo en $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$ --- ### d) $f(x) = x^3 (x + 2) = x^4 + 2x^3$ 1. Derivada primera: $$f'(x) = 4x^3 + 6x^2 = 2x^2(2x + 3)$$ 2. Puntos críticos: $$x=0, x=-\frac{3}{2}$$ 3. Derivada segunda: $$f''(x) = 12x^2 + 12x = 12x(x + 1)$$ 4. Evaluar concavidad en puntos críticos: $$f''(0) = 0$$ (posible inflexión) $$f''(-\frac{3}{2}) = 12(-\frac{3}{2})(-\frac{1}{2}) = 9 > 0 \Rightarrow \text{mínimo en } x=-\frac{3}{2}$$ 5. Valores de $f$: $$f(0) = 0$$ $$f(-\frac{3}{2}) = (-\frac{3}{2})^4 + 2(-\frac{3}{2})^3 = \frac{81}{16} - 27/4 = -\frac{27}{16}$$ 6. Puntos de inflexión: $$f''(x) = 0 \Rightarrow x=0, x=-1$$ 7. Intervalos de crecimiento/decrecimiento: - Crece en $(-\infty, -\frac{3}{2})$ y $(0, \infty)$ - Decrece en $(-\frac{3}{2}, 0)$ 8. Concavidad: - Cóncava hacia arriba en $(-\infty, -1)$ y $(0, \infty)$ - Cóncava hacia abajo en $(-1, 0)$ --- ### e) $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x$ 1. Derivada primera: $$f'(x) = 12x^3 - 24x^2 + 6 = 6(2x^3 - 4x^2 + 1)$$ 2. Encontrar raíces de $2x^3 - 4x^2 + 1 = 0$ (aproximadas): - Usando métodos numéricos, raíces aproximadas son $x \approx 0.28, 1.18, 1.54$ 3. Derivada segunda: $$f''(x) = 36x^2 - 48x = 12x(3x - 4)$$ 4. Evaluar concavidad en puntos críticos: - Para $x=0.28$, $f''(0.28) < 0$ (máximo) - Para $x=1.18$, $f''(1.18) > 0$ (mínimo) - Para $x=1.54$, $f''(1.54) < 0$ (máximo) 5. Puntos de inflexión: $$f''(x) = 0 \Rightarrow x=0, x=\frac{4}{3} \approx 1.33$$ 6. Intervalos de crecimiento/decrecimiento: - Crece en $(-\infty, 0.28)$, $(1.18, 1.54)$ y $(1.54, \infty)$ - Decrece en $(0.28, 1.18)$ 7. Concavidad: - Cóncava hacia arriba en $(0, 1.33)$ - Cóncava hacia abajo en $(-\infty, 0)$ y $(1.33, \infty)$ --- **Respuesta final:** Se han determinado los puntos máximos, mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión y concavidad para cada función.