1. **Primeira questão do Ex. 1**: Um balão sobe verticalmente a 30 m/min a partir do solo, a 20 m do observador. Queremos a taxa de variação do ângulo de visão $\theta$ do observador quando o balão está a 60 m de altura. 2. Vamos chamar a altura do balão de $h(t)$, com $h(t)$ em metros e $t$ em minutos. Temos $h(t) = 30t$, e a distância horizontal ao observador é constante $x = 20$m. 3. O ângulo $\theta$ é dado por $\tan(\theta) = \frac{h}{x} = \frac{h}{20}$. 4. Derivamos em relação ao tempo $t$: $$\frac{d}{dt} \tan(\theta) = \sec^2(\theta) \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{20} \frac{dh}{dt}$$ 5. Sabemos que $\frac{dh}{dt} = 30$ m/min. Para $h = 60$, o ângulo é: $$\tan(\theta) = \frac{60}{20} = 3$$ 6. Então $$\sec^2(\theta) = 1 + \tan^2(\theta) = 1 + 3^2 = 10$$ 7. Logo, $$10 \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{20} \times 30 = \frac{30}{20} = 1,5$$ 8. Portanto, $$\frac{d\theta}{dt} = \frac{1,5}{10} = 0,15 \text{ rad/min}$$ --- 1. **Segunda questão do Ex. 1**: Uma lata cilíndrica sem tampa superior tem volume $5 cm^3$. Determine as dimensões para minimizar o material (área da superfície). 2. Seja o raio $r$ e a altura $h$. O volume é $$V = \pi r^2 h = 5$$ 3. A área da superfície, sem tampa superior, é $$A = \pi r^2 + 2\pi r h$$ (tampa inferior + lateral). 4. Substituímos $h$ da equação do volume: $$h = \frac{5}{\pi r^2}$$ 5. Então, a área em função de $r$ é $$A(r) = \pi r^2 + 2\pi r \frac{5}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{10}{r}$$ 6. Derivamos para minimizar: $$A'(r) = 2\pi r - \frac{10}{r^2}$$ 7. Igualando a zero para mínimos: $$2\pi r = \frac{10}{r^2} \Rightarrow 2\pi r^3 = 10 \Rightarrow r^3 = \frac{5}{\pi}$$ 8. Logo, $$r = \sqrt[3]{\frac{5}{\pi}}$$ 9. Calculamos altura: $$h = \frac{5}{\pi r^2} = \frac{5}{\pi (\sqrt[3]{\frac{5}{\pi}})^2} = \frac{5}{\pi} \cdot \left(\frac{\pi}{5}\right)^{2/3} = 5^{1 - 2/3} \pi^{-1 + 2/3} = 5^{1/3} \pi^{-1/3} = \sqrt[3]{\frac{5}{\pi}}$$ 10. Ou seja, a lata com área mínima tem altura igual ao raio. --- 1. **Ex. 2**: Encontrar a reta tangente à curva dada por $$\frac{\ln(x)}{x^2+1} = \sin(\pi xy)$$ no ponto $(1,1)$. 2. Definimos: $$F(x,y) = \frac{\ln(x)}{x^2+1} - \sin(\pi x y) = 0$$ 3. Derivamos implicitamente com respeito a $x$: $$\frac{d}{dx} F(x,y) = 0 = \frac{d}{dx} \left(\frac{\ln x}{x^2 + 1}\right) - \frac{d}{dx} \sin(\pi x y)$$ 4. Para a primeira parte, usando quociente: $$\frac{d}{dx} \frac{\ln x}{x^2 + 1} = \frac{\frac{1}{x} (x^2 + 1) - \ln x (2x)}{(x^2 + 1)^2}$$ 5. Para a segunda parte, pela regra da cadeia e do produto: $$\frac{d}{dx} \sin(\pi x y) = \cos(\pi x y) \cdot \pi (y + x \frac{dy}{dx})$$ 6. Colocamos tudo: $$0 = \frac{(x^2+1)/x - 2x \ln x}{(x^2+1)^2} - \pi \cos(\pi x y)(y + x y')$$ 7. Avaliamos em $(1,1)$: $$\frac{(1 + 1)/1 - 2 \cdot 1 \cdot 0}{(1 + 1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$\cos(\pi \cdot 1 \cdot 1) = \cos(\pi) = -1$$ 8. Substituímos: $$0 = \frac{1}{2} - \pi (-1)(1 + 1 \cdot y') = \frac{1}{2} + \pi (1 + y')$$ 9. Resolvemos para $y'$: $$\frac{1}{2} + \pi + \pi y' = 0 \Rightarrow \pi y' = - \pi - \frac{1}{2} \Rightarrow y' = -1 - \frac{1}{2\pi}$$ 10. A equação da reta tangente no ponto $(1,1)$ com coeficiente angular $m = y'$ é: $$y - 1 = m (x - 1) = \left(-1 - \frac{1}{2 \pi}\right)(x - 1)$$ --- **Número de problemas resolvidos: 3**