1. Planteamos el problema: Tenemos una piscina con dimensiones longitud $40$ pies, ancho $9$ pies y altura $20$ pies. El agua está hasta $4$ pies de profundidad en el extremo más hondo. 2. Para calcular el porcentaje de la piscina que está llena, primero calculamos el volumen total de la piscina usando la fórmula del volumen de un prisma rectangular: $$V_{total} = \text{longitud} \times \text{ancho} \times \text{altura} = 40 \times 9 \times 20 = 7200 \text{ pies}^3$$ 3. El volumen de agua es el volumen del prisma con altura $4$ pies: $$V_{agua} = 40 \times 9 \times 4 = 1440 \text{ pies}^3$$ 4. El porcentaje de la piscina que está llena es: $$\text{Porcentaje} = \frac{V_{agua}}{V_{total}} \times 100 = \frac{1440}{7200} \times 100 = 20\%$$ 5. Para la segunda parte, el agua entra a razón de $10$ pies$^3$/min. Queremos encontrar a qué ritmo sube el nivel del agua $h$ cuando $h=4$ pies. 6. El volumen de agua en función de la altura $h$ es: $$V = 40 \times 9 \times h = 360h$$ 7. Derivamos respecto al tiempo $t$ para relacionar el cambio de volumen con el cambio de altura: $$\frac{dV}{dt} = 360 \frac{dh}{dt}$$ 8. Sabemos que $\frac{dV}{dt} = 10$ pies$^3$/min, entonces: $$10 = 360 \frac{dh}{dt} \implies \frac{dh}{dt} = \frac{10}{360} = \frac{1}{36} \approx 0.0278 \text{ pies/min}$$ 9. Por lo tanto, el nivel del agua sube a aproximadamente $0.0278$ pies por minuto cuando la profundidad es de $4$ pies.