1. Problema 03: Calcular el volumen del sólido usando integrales triples. El sólido está limitado por los planos coordenados y las superficies: - En el plano xy: $y = 1 - x$ con $0 \leq x \leq 1$ - En el eje z: $z = 1 - x^2$ 2. Para calcular el volumen $V$ usamos la integral triple: $$V = \iiint_D dV$$ Donde $D$ es la región delimitada. 3. Definimos los límites de integración: - $x$ va de 0 a 1 - $y$ va de 0 a $1 - x$ - $z$ va de 0 a $1 - x^2$ 4. La integral queda: $$V = \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x^2} dz\, dy\, dx$$ 5. Integramos respecto a $z$: $$\int_0^{1-x^2} dz = 1 - x^2$$ 6. Ahora la integral es: $$V = \int_0^1 \int_0^{1-x} (1 - x^2) dy\, dx$$ 7. Integramos respecto a $y$: $$\int_0^{1-x} (1 - x^2) dy = (1 - x^2)(1 - x)$$ 8. Finalmente, integramos respecto a $x$: $$V = \int_0^1 (1 - x^2)(1 - x) dx = \int_0^1 (1 - x - x^2 + x^3) dx$$ 9. Calculamos la integral: $$\int_0^1 (1 - x - x^2 + x^3) dx = \left[x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{12}{12} - \frac{6}{12} - \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$$ 10. Por lo tanto, el volumen es: $$\boxed{\frac{5}{12}}$$ --- 1. Problema 04: Verificar si $y = C_1 e^{-4x} + C_2 x e^{-4x}$ es solución de la ecuación diferencial $$y'' + 8y' + 16y = 0$$ 2. Derivamos $y$: $$y = C_1 e^{-4x} + C_2 x e^{-4x}$$ $$y' = -4 C_1 e^{-4x} + C_2 e^{-4x} - 4 C_2 x e^{-4x} = e^{-4x}(-4 C_1 + C_2 - 4 C_2 x)$$ 3. Derivamos $y'$ para obtener $y''$: $$y'' = \frac{d}{dx} \left(e^{-4x}(-4 C_1 + C_2 - 4 C_2 x)\right)$$ Usamos producto: $$y'' = e^{-4x}(-4 C_1 + C_2 - 4 C_2 x)' + (e^{-4x})'(-4 C_1 + C_2 - 4 C_2 x)$$ 4. Calculamos las derivadas: $$(-4 C_1 + C_2 - 4 C_2 x)' = -4 C_2$$ $$(e^{-4x})' = -4 e^{-4x}$$ 5. Entonces: $$y'' = e^{-4x}(-4 C_2) + (-4 e^{-4x})(-4 C_1 + C_2 - 4 C_2 x) = e^{-4x}(-4 C_2 + 16 C_1 - 4 C_2 + 16 C_2 x) = e^{-4x}(16 C_1 - 8 C_2 + 16 C_2 x)$$ 6. Sustituimos en la ecuación diferencial: $$y'' + 8 y' + 16 y = e^{-4x}(16 C_1 - 8 C_2 + 16 C_2 x) + 8 e^{-4x}(-4 C_1 + C_2 - 4 C_2 x) + 16 (C_1 e^{-4x} + C_2 x e^{-4x})$$ 7. Simplificamos: $$= e^{-4x} \left[16 C_1 - 8 C_2 + 16 C_2 x - 32 C_1 + 8 C_2 - 32 C_2 x + 16 C_1 + 16 C_2 x\right] = e^{-4x} (0) = 0$$ 8. Por lo tanto, la función es solución de la ecuación diferencial. --- 1. Problema 05: Hallar la solución de la ecuación diferencial: $$(xy + 9x - 3y - 27) dx + (xy + 4x - 5y - 20) dy = 0$$ 2. Identificamos: $$M = xy + 9x - 3y - 27$$ $$N = xy + 4x - 5y - 20$$ 3. Verificamos si es exacta: $$\frac{\partial M}{\partial y} = x - 3$$ $$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 4$$ 4. Como $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$, no es exacta. 5. Buscamos un factor integrante. Probamos si depende solo de $x$ o $y$: $$\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} = (y + 4) - (x - 3) = y + 4 - x + 3 = y - x + 7$$ 6. Calculamos: $$\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{y - x + 7}{xy + 9x - 3y - 27}$$ No depende solo de $x$ ni solo de $y$, intentamos otro método. 7. Reorganizamos $M$ y $N$: $$M = x(y + 9) - 3(y + 9) = (y + 9)(x - 3)$$ $$N = y(x - 5) + 4(x - 5) = (x - 5)(y + 4)$$ 8. La ecuación queda: $$(y + 9)(x - 3) dx + (x - 5)(y + 4) dy = 0$$ 9. Dividimos toda la ecuación por $(x - 3)(y + 4)$ (asumiendo $x \neq 3$, $y \neq -4$): $$\frac{y + 9}{y + 4} dx + \frac{x - 5}{x - 3} dy = 0$$ 10. Ahora, consideramos la forma: $$M^* = \frac{y + 9}{y + 4}, \quad N^* = \frac{x - 5}{x - 3}$$ 11. Verificamos si es exacta: $$\frac{\partial M^*}{\partial y} = \frac{(y + 4) - (y + 9)}{(y + 4)^2} = \frac{-5}{(y + 4)^2}$$ $$\frac{\partial N^*}{\partial x} = \frac{(x - 3) - (x - 5)}{(x - 3)^2} = \frac{2}{(x - 3)^2}$$ 12. No es exacta, pero ahora podemos intentar separar variables o buscar otro método. 13. Intentamos separar variables: $$\frac{y + 9}{y + 4} dx = - \frac{x - 5}{x - 3} dy$$ 14. Reorganizamos: $$\frac{dx}{x - 3} = - \frac{(x - 5)(y + 4)}{(y + 9)(x - 3)} dy$$ 15. Esto no es separable directamente, pero podemos intentar integrar por partes o buscar una función potencial. 16. Dado que la ecuación original no es exacta ni fácilmente separable, proponemos un cambio de variable o usar un factor integrante dependiente de $x$ o $y$. 17. Por simplicidad, proponemos la solución implícita: $$F(x,y) = C$$ 18. Integrando $M$ respecto a $x$: $$\int (xy + 9x - 3y - 27) dx = \int x y dx + \int 9x dx - \int 3y dx - \int 27 dx$$ 19. Tratando $y$ como constante: $$= y \frac{x^2}{2} + \frac{9 x^2}{2} - 3 y x - 27 x + h(y)$$ 20. Derivamos respecto a $y$: $$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{x^2}{2} + 0 - 3 x + h'(y)$$ 21. Igualamos a $N$: $$\frac{x^2}{2} - 3 x + h'(y) = xy + 4 x - 5 y - 20$$ 22. Esto no es posible porque el lado derecho depende en $xy$ y $y$, el izquierdo no tiene término $xy$. 23. Por lo tanto, la ecuación no es exacta y no tiene un factor integrante simple. 24. Se recomienda usar métodos numéricos o técnicas avanzadas para resolver esta ecuación diferencial. --- Resumen: - Volumen del sólido: $\frac{5}{12}$ - La función dada es solución de la ecuación diferencial homogénea. - La ecuación diferencial del problema 05 no es exacta ni fácilmente integrable con métodos elementales.