1. Calcule la integral triple El problema es calcular $$I = \int_1^3 \int_0^{\sqrt{4-(x-2)^2}} \int_0^y \frac{z^2 \sin(3y)}{6-z} \, dz \, dy \, dx.$$ 2. Área de la región delimitada Calcular el área encerrada por las curvas $$x = y^2 + 1,$$ $$y - x = -2 \Rightarrow y = x - 2,$$ $$y = -1,$$ $$y = 2.$$ 3. Volumen del sólido Determinar el volumen delimitado por $$z=0, x=0, y=0,$$ $$y \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 3.$$ 4. Comprobar solución de la ecuación diferencial Dada la ecuación $$(x y^2 + 2y) dx + (x^2 y + x) dy = 0,$$ verificar si $$x^2 y^2 + 2 x y = C_1$$ es solución. 5. Resolver la ecuación diferencial $$(2 x y + y^2) dx = (x^2 - 2 y^2) dy.$$ --- ### 1. Integral triple 1. La integral es $$I = \int_1^3 \int_0^{\sqrt{4-(x-2)^2}} \int_0^y \frac{z^2 \sin(3y)}{6-z} dz dy dx.$$ 2. Observamos que $\sin(3y)$ no depende de $z$, se puede sacar fuera de la integral en $z$. 3. Primero integramos respecto a $z$: $$\int_0^y \frac{z^2}{6-z} dz.$$ 4. Usamos división polinómica para simplificar: $$\frac{z^2}{6-z} = -z - 6 + \frac{36}{6-z}.$$ 5. Entonces $$\int_0^y \frac{z^2}{6-z} dz = \int_0^y (-z - 6 + \frac{36}{6-z}) dz = \int_0^y (-z - 6) dz + 36 \int_0^y \frac{1}{6-z} dz.$$ 6. Calculamos cada integral: $$\int_0^y (-z - 6) dz = \left[-\frac{z^2}{2} - 6z \right]_0^y = -\frac{y^2}{2} - 6y,$$ $$36 \int_0^y \frac{1}{6-z} dz = 36 [-\ln|6-z|]_0^y = 36 (\ln 6 - \ln(6 - y)) = 36 \ln \frac{6}{6 - y}.$$ 7. Por lo tanto, $$\int_0^y \frac{z^2}{6-z} dz = -\frac{y^2}{2} - 6y + 36 \ln \frac{6}{6 - y}.$$ 8. La integral queda $$I = \int_1^3 \int_0^{\sqrt{4-(x-2)^2}} \sin(3y) \left(-\frac{y^2}{2} - 6y + 36 \ln \frac{6}{6 - y} \right) dy dx.$$ 9. La integral en $x$ es sobre $x$ en $[1,3]$ y el límite superior en $y$ es $\sqrt{4-(x-2)^2}$, que describe un semicírculo de radio 2 centrado en $x=2$. 10. Cambiamos el orden de integración para integrar primero en $x$: Para un $y$ fijo, $x$ varía entre $2 - \sqrt{4 - y^2}$ y $2 + \sqrt{4 - y^2}$. 11. Entonces $$I = \int_0^2 \sin(3y) \left(-\frac{y^2}{2} - 6y + 36 \ln \frac{6}{6 - y} \right) \left(2 \sqrt{4 - y^2} \right) dy.$$ 12. Esta integral es complicada y se puede evaluar numéricamente para obtener el valor aproximado. --- ### 2. Área de la región 1. La región está delimitada por: - Parabola: $x = y^2 + 1$ - Recta: $y = x - 2$ - Líneas horizontales: $y = -1$ y $y = 2$ 2. Para cada $y$ entre $-1$ y $2$, el $x$ varía entre $x = y^2 + 1$ y $x = y + 2$ (despejando $x$ de la recta). 3. El área es $$A = \int_{-1}^2 \left[(y + 2) - (y^2 + 1)\right] dy = \int_{-1}^2 (-y^2 + y + 1) dy.$$ 4. Integramos: $$\int (-y^2 + y + 1) dy = -\frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} + y + C.$$ 5. Evaluamos en $-1$ y $2$: $$A = \left(-\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} - 1\right) = \left(-\frac{8}{3} + 2 + 2\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 1\right).$$ 6. Simplificando: $$= \left(-\frac{8}{3} + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 1\right) = \left(\frac{12}{3} - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 1\right) = \frac{4}{3} - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 1\right).$$ 7. Continuando: $$= \frac{4}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{3} + 1 - \frac{1}{2} = 1 + 1 - 0.5 = 1.5.$$ 8. Por lo tanto, el área es $1.5$ unidades cuadradas. --- ### 3. Volumen del sólido 1. El sólido está limitado por $$z=0, x=0, y=0,$$ $$y \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 3.$$ 2. Despejamos $z$: $$\frac{z}{6} = 3 - y \frac{x}{3} - \frac{y}{2} \Rightarrow z = 18 - 2 x y - 3 y.$$ 3. Las variables $x,y,z$ son positivas, y $z \geq 0$ implica $$18 - 2 x y - 3 y \geq 0 \Rightarrow 2 x y + 3 y \leq 18.$$ 4. Factorizamos $y$: $$y (2 x + 3) \leq 18.$$ 5. Para $y \geq 0$, el dominio es $$0 \leq y \leq \frac{18}{2 x + 3}, \quad x \geq 0.$$ 6. El volumen es $$V = \int_0^{x_{max}} \int_0^{\frac{18}{2 x + 3}} (18 - 2 x y - 3 y) dy dx.$$ 7. Para encontrar $x_{max}$, cuando $y=0$, no hay restricción, pero para $y \geq 0$, $x$ puede crecer indefinidamente. Sin embargo, para $y \geq 0$, $z \geq 0$ requiere $y \leq \frac{18}{2 x + 3}$, que tiende a 0 cuando $x \to \infty$. Para volumen finito, integramos $x$ desde 0 hasta infinito. 8. Integramos en $y$: $$\int_0^{\frac{18}{2 x + 3}} (18 - 2 x y - 3 y) dy = \left[18 y - x y^2 - \frac{3}{2} y^2 \right]_0^{\frac{18}{2 x + 3}}.$$ 9. Evaluando: $$= 18 \cdot \frac{18}{2 x + 3} - x \left(\frac{18}{2 x + 3}\right)^2 - \frac{3}{2} \left(\frac{18}{2 x + 3}\right)^2.$$ 10. Simplificamos: $$= \frac{324}{2 x + 3} - \frac{324 x}{(2 x + 3)^2} - \frac{486}{(2 x + 3)^2}.$$ 11. El volumen es $$V = \int_0^{\infty} \left( \frac{324}{2 x + 3} - \frac{324 x}{(2 x + 3)^2} - \frac{486}{(2 x + 3)^2} \right) dx.$$ 12. Esta integral converge y se puede resolver con sustitución $u = 2 x + 3$ y luego integrando racionalmente. --- ### 4. Comprobar solución 1. La ecuación diferencial es $$(x y^2 + 2 y) dx + (x^2 y + x) dy = 0.$$ 2. La función propuesta es $$F(x,y) = x^2 y^2 + 2 x y = C_1.$$ 3. Calculamos derivadas parciales: $$\frac{\partial F}{\partial x} = 2 x y^2 + 2 y,$$ $$\frac{\partial F}{\partial y} = 2 x^2 y + 2 x.$$ 4. La ecuación diferencial se puede escribir como $$M dx + N dy = 0,$$ con $$M = x y^2 + 2 y,$$ $$N = x^2 y + x.$$ 5. Comparamos con derivadas: $$M = \frac{\partial F}{\partial x} = 2 x y^2 + 2 y,$$ $$N = \frac{\partial F}{\partial y} = 2 x^2 y + 2 x.$$ 6. No coinciden exactamente, por lo que $F(x,y) = C_1$ no es solución directa. --- ### 5. Resolver la ecuación diferencial 1. La ecuación es $$(2 x y + y^2) dx = (x^2 - 2 y^2) dy.$$ 2. Reescribimos: $$(2 x y + y^2) dx - (x^2 - 2 y^2) dy = 0.$$ 3. Definimos $$M = 2 x y + y^2,$$ $$N = -(x^2 - 2 y^2) = -x^2 + 2 y^2.$$ 4. Verificamos si es exacta: $$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 y,$$ $$\frac{\partial N}{\partial x} = -2 x.$$ 5. No son iguales, no es exacta. 6. Buscamos un factor integrante o intentamos separar variables o usar otro método. 7. Dividimos por $y^2$ (si $y \neq 0$): $$\frac{2 x y + y^2}{y^2} dx = \frac{x^2 - 2 y^2}{y^2} dy \Rightarrow \left(2 x \frac{1}{y} + 1\right) dx = \left(\frac{x^2}{y^2} - 2\right) dy.$$ 8. Intentamos cambio de variable o método adecuado para resolver. --- **q_count: 5