1. Calcule el límite $$\lim_{x \to 3} \frac{x^4 + 2x^3 - x + 5}{x^2 + 3}$$. 2. Sustituya $x=3$ en la función sin encontrar indeterminación. $$\text{Numerador} = 3^4 + 2 \cdot 3^3 - 3 + 5 = 81 + 54 - 3 + 5 = 137$$ $$\text{Denominador} = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$$ 3. Calcule el límite como $$\lim_{x \to 3} = \frac{137}{12}$$ --- 4. Halle el límite $$\lim_{x \to -1} \left[ \frac{x^2 + 2x}{x + 3} \right]$$. 5. Sustituya $x=-1$ directamente: $$\frac{(-1)^2 + 2(-1)}{-1 + 3} = \frac{1 - 2}{2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$$ --- 6. Dadas las funciones $$f(x) = \frac{x+12}{x-4}$$ y $$g(x) = x - \frac{5}{6}$$, encuentre el valor de $$(g \circ f)(12)$$. 7. Primero calcule $$f(12) = \frac{12 + 12}{12 - 4} = \frac{24}{8} = 3$$. 8. Luego calcule $$g(f(12)) = g(3) = 3 - \frac{5}{6} = \frac{18}{6} - \frac{5}{6} = \frac{13}{6}$$. --- 9. La función ingreso es $$I(q) = -0.1q^2 + 40q$$ y la función pacientes diarios $$q(t) = t$$ para tiempo $t$ en horas. 10. Componer funciones da $$I(q(t)) = -0.1 t^2 + 40 t$$. --- 11. Dadas funciones $$f(x) = 3x - 5$$ con dominio $]3;15]$ y $$g(x) = 2x + 3$$ con dominio $]1;9]$, halle el dominio de $$(f \circ g)$$. 12. El dominio de la composición requiere que $$g(x) \in ]3;15]$$. 13. Resolver $$3 < 2x + 3 \leq 15$$: $$\Rightarrow 0 < 2x \leq 12$$ $$\Rightarrow 0 < x \leq 6$$ 14. Intersectar con el dominio de $g$: $$x \in ]1;9]$$. 15. El dominio final es $$]1;6]$$. --- 16. Para el sistema de inecuaciones $$3x + 2y \leq 12$$ $$x + y \leq 5$$ $$x \geq 0,\quad y \geq 0$$ encuentre vértices de la región factible. 17. Calcule intersección de las dos rectas: $$3x + 2y = 12$$ $$x + y = 5$$ De la segunda: $$y = 5 - x$$. Substituya en la primera: $$3x + 2(5 - x) = 12 \Rightarrow 3x + 10 - 2x = 12 \Rightarrow x = 2$$ Luego $$y = 5 - 2 = 3$$. 18. Encuentre interceptos con ejes (imponiendo $y=0$, luego $x=0$): Para $$3x + 2y = 12$$: $$y=0 \Rightarrow x=4$$, $$x=0 \Rightarrow y=6$$. Para $$x + y = 5$$: $$y=0 \Rightarrow x=5$$, $$x=0 \Rightarrow y=5$$. 19. Viendo restricciones $$x \geq 0, y \geq 0$$ y las inequaciones, los puntos factibles de vértices son: $$(0,4), (2,3), (5,0), (0,0)$$.