1. **Enunciado do problema:** Dada uma função $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ de classe $C^2$, sabemos que a derivada direcional de $f$ no ponto $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ na direção do vetor $(1,0)$ é igual a 1, ou seja, $$f'\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)(1,0) = 1.$$ Queremos determinar qual dos vetores dados pode ser o gradiente $\nabla f$ no ponto $(1,0)$. 2. **Fórmula e regras importantes:** A derivada direcional de $f$ no ponto $\mathbf{a}$ na direção do vetor unitário $\mathbf{u}$ é dada por: $$f'(\mathbf{a})(\mathbf{u}) = \nabla f(\mathbf{a}) \cdot \mathbf{u} = \nabla f(\mathbf{a})^T \mathbf{u}.$$ Aqui, $\nabla f(\mathbf{a})$ é o vetor gradiente de $f$ no ponto $\mathbf{a}$. 3. **Análise do problema:** Sabemos que a derivada direcional no ponto $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ na direção $(1,0)$ é 1. Isso significa que: $$\nabla f\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot (1,0) = 1.$$ Ou seja, a primeira componente do gradiente no ponto $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ é 1. 4. **O que o problema pergunta:** Queremos saber qual vetor pode ser o gradiente $\nabla f$ no ponto $(1,0)$. Note que o ponto onde a derivada direcional foi dada é diferente do ponto onde queremos o gradiente. Como $f$ é de classe $C^2$, o gradiente é contínuo e suave, mas não necessariamente igual nos dois pontos. 5. **Relação entre os pontos:** Não temos informação direta sobre o gradiente em $(1,0)$, mas sabemos que a derivada direcional no ponto $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ na direção $(1,0)$ é 1, o que implica que a primeira componente do gradiente naquele ponto é 1. 6. **Verificação das opções:** As opções para $\nabla f(1,0)$ são: - $(2,2)$: primeira componente 2 - $(0,1)$: primeira componente 0 - $(1,0)$: primeira componente 1 - $(1,1)$: primeira componente 1 - $(1,-1)$: primeira componente 1 Como o gradiente pode variar, mas a primeira componente deve ser próxima de 1, as opções com primeira componente 1 são possíveis. 7. **Conclusão:** O vetor selecionado $\nabla f = (1,1)$ tem primeira componente 1, compatível com a derivada direcional dada. Portanto, $\boxed{(1,1)}$ pode ser o gradiente de $f$ no ponto $(1,0)$.