1. O problema pede para encontrar o vetor que indica a direção e sentido de maior crescimento da função composta $F = f \circ g$ no ponto $(1,1)$, onde $f(t) = 2 \sin(t)$ e $g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ é uma função vetorial que compõe $F$. 2. A direção de maior crescimento de uma função escalar $F(x,y)$ é dada pelo vetor gradiente $\nabla F(x,y)$, que aponta na direção em que $F$ cresce mais rapidamente. 3. Como $F = f \circ g$, pelo Teorema da Cadeia, o gradiente de $F$ é dado por: $$\nabla F(x,y) = f'(g(x,y)) \nabla g(x,y)$$ 4. Primeiro, calculamos a derivada de $f(t)$: $$f(t) = 2 \sin(t) \implies f'(t) = 2 \cos(t)$$ 5. Para continuar, precisamos da função $g(x,y)$ e seu gradiente $\nabla g(x,y)$. Como não foi dada explicitamente, assumimos que $g(x,y)$ é conhecida ou que o problema espera a resposta em termos de $\nabla g(1,1)$. 6. Avaliamos $f'(g(1,1))$: $$f'(g(1,1)) = 2 \cos(g(1,1))$$ 7. Portanto, o vetor direção e sentido de maior crescimento de $F$ no ponto $(1,1)$ é: $$\nabla F(1,1) = 2 \cos(g(1,1)) \nabla g(1,1)$$ 8. Em palavras, para encontrar o vetor exato, você precisa conhecer $g(1,1)$ e $\nabla g(1,1)$. O vetor gradiente de $F$ é o gradiente de $g$ multiplicado pela derivada de $f$ avaliada em $g(1,1)$. Resposta final: O vetor direção e sentido de maior crescimento de $F$ no ponto $(1,1)$ é $$\boxed{2 \cos(g(1,1)) \nabla g(1,1)}$$.