1. **Planteamiento del problema:** Encontrar los extremos del funcional $$J[x,u] = \int_0^{10} (2xu + u^2) \, dt$$ sujeto a la restricción dinámica $$\dot{x} = u$$ con condiciones $$x(0) = 10$$ y $$x(10)$$ libre. 2. **Fórmula y método:** Usamos el principio del cálculo de variaciones con restricción dinámica, aplicando el método de multiplicadores de Lagrange o el principio de Pontryagin. Definimos el Hamiltoniano: $$H = 2xu + u^2 + \lambda u$$ donde $$\lambda(t)$$ es el multiplicador adjunto. 3. **Ecuaciones de Euler-Lagrange para sistemas con restricciones:** - Ecuación de estado: $$\dot{x} = \frac{\partial H}{\partial \lambda} = u$$ - Ecuación adjunta: $$\dot{\lambda} = -\frac{\partial H}{\partial x} = -2u$$ - Condición de optimalidad: $$0 = \frac{\partial H}{\partial u} = 2x + 2u + \lambda$$ 4. **Despejamos $$u$$ de la condición de optimalidad:** $$2x + 2u + \lambda = 0 \implies u = -x - \frac{\lambda}{2}$$ 5. **Sistema de ecuaciones:** $$\dot{x} = u = -x - \frac{\lambda}{2}$$ $$\dot{\lambda} = -2u = -2\left(-x - \frac{\lambda}{2}\right) = 2x + \lambda$$ 6. **Escribimos el sistema en forma matricial:** $$\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x \\ \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -\frac{1}{2} \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ \lambda \end{pmatrix}$$ 7. **Resolvemos el sistema de ecuaciones diferenciales lineales:** Buscamos valores propios $$\mu$$ de la matriz: $$\det \begin{pmatrix} -1 - \mu & -\frac{1}{2} \\ 2 & 1 - \mu \end{pmatrix} = 0$$ Calculamos el determinante: $$(-1 - \mu)(1 - \mu) - (-\frac{1}{2})(2) = (-1 - \mu)(1 - \mu) + 1 = 0$$ Expandiendo: $$(-1)(1 - \mu) - \mu(1 - \mu) + 1 = 0$$ $$-1 + \mu - \mu + \mu^2 + 1 = 0$$ $$\mu^2 = 0$$ Por lo tanto, $$\mu = 0$$ es un valor propio doble. 8. **Solución general del sistema:** Dado que $$\mu=0$$ es doble, la solución es: $$\begin{pmatrix} x(t) \\ \lambda(t) \end{pmatrix} = (A + Bt) \mathbf{v}$$ donde $$\mathbf{v}$$ es el vector propio asociado a $$\mu=0$$. 9. **Encontramos el vector propio:** $$\left( \begin{pmatrix} -1 & -\frac{1}{2} \\ 2 & 1 \end{pmatrix} - 0 \cdot I \right) \mathbf{v} = 0$$ Esto da: $$\begin{cases} -1 v_1 - \frac{1}{2} v_2 = 0 \\ 2 v_1 + v_2 = 0 \end{cases}$$ De la segunda ecuación: $$v_2 = -2 v_1$$ Sustituyendo en la primera: $$-1 v_1 - \frac{1}{2}(-2 v_1) = -v_1 + v_1 = 0$$ Por lo tanto, vector propio: $$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$$ 10. **Solución general:** $$\begin{pmatrix} x(t) \\ \lambda(t) \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} + B t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A + B t \\ -2A - 2B t \end{pmatrix}$$ 11. **Condiciones iniciales y de frontera:** - $$x(0) = 10 \implies A = 10$$ - $$x(10)$$ libre (no fija) 12. **Expresión para $$u(t)$$:** $$u = -x - \frac{\lambda}{2} = -(A + B t) - \frac{-2A - 2B t}{2} = -A - B t + A + B t = 0$$ Por lo tanto, $$u(t) = 0$$ para todo $$t$$. 13. **Conclusión:** - $$u(t) = 0$$ - $$x(t) = 10$$ constante - $$\lambda(t) = -2A - 2B t = -20 - 2B t$$ (con $$B$$ arbitrario) 14. **Tipo de extremo:** Para determinar si es máximo o mínimo, se analizaría la segunda variación o se usarían condiciones adicionales, pero dado que $$u=0$$ minimiza el funcional (ya que $$u^2$$ es positivo y $$2xu$$ es nulo con $$x=10$$), concluimos que es un mínimo. **Respuesta final:** $$\boxed{u(t) = 0, \quad x(t) = 10, \quad \text{mínimo del funcional}}$$