1. Problema: Calcular la integral triple $$I = \int_1^3 \int_0^{\sqrt{4-(x-2)^2}} \int_0^{y^2} \frac{\sin(3y)}{6-z} \, dz \, dy \, dx.$$ 2. Fórmula y reglas: Para integrar funciones en tres variables, integramos sucesivamente en el orden dado, evaluando cada integral con respecto a su variable y sustituyendo los límites. 3. Desarrollo: - Primero integramos respecto a $z$: $$\int_0^{y^2} \frac{\sin(3y)}{6-z} dz = \sin(3y) \int_0^{y^2} \frac{1}{6-z} dz = \sin(3y) [-\ln|6-z|]_0^{y^2} = \sin(3y) [\ln 6 - \ln(6 - y^2)].$$ - La integral queda: $$I = \int_1^3 \int_0^{\sqrt{4-(x-2)^2}} \sin(3y) [\ln 6 - \ln(6 - y^2)] dy dx.$$ - Esta integral es compleja para resolver analíticamente, se puede evaluar numéricamente o con software. --- 2. Problema: Calcular el área delimitada por la parábola $x = y^2 + 1$, la recta $y - x = -2$, y las rectas horizontales $y = -1$ y $y = 2$. 3. Fórmula: El área de una región se calcula con la integral doble $$A = \int_{y=a}^{b} \int_{x=f_1(y)}^{f_2(y)} dx \, dy = \int_{y=-1}^2 [f_2(y) - f_1(y)] dy,$$ donde $f_1(y)$ y $f_2(y)$ son las funciones que delimitan la región en $x$ para cada $y$. 4. Desarrollo: - La parábola es $x = y^2 + 1$. - La recta $y - x = -2$ implica $x = y + 2$. - Para cada $y$ entre $-1$ y $2$, el intervalo en $x$ es de $x = y^2 + 1$ a $x = y + 2$. - Entonces: $$A = \int_{-1}^2 [(y + 2) - (y^2 + 1)] dy = \int_{-1}^2 (-y^2 + y + 1) dy.$$ - Calculamos la integral: $$\int (-y^2 + y + 1) dy = -\frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} + y.$$ - Evaluamos en $-1$ y $2$: $$\left[-\frac{(2)^3}{3} + \frac{(2)^2}{2} + 2\right] - \left[-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} -1\right] = \left[-\frac{8}{3} + 2 + 2\right] - \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{2} -1\right] = \left(\frac{4}{3}\right) - \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{4}{3} + \frac{1}{6} = \frac{9}{6} = 1.5.$$ --- 3. Problema: Determinar el volumen del sólido delimitado por los planos $z=0$, $x=0$, $y=0$, y $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 3$. 4. Fórmula: El volumen bajo el plano y sobre los planos coordenados es $$V = \iiint_{D} dV,$$ donde $D$ es la región limitada. 5. Desarrollo: - Despejamos $z$: $$\frac{z}{6} = 3 - \frac{x}{3} - \frac{y}{2} \Rightarrow z = 18 - 2x - 3y.$$ - Los límites son $x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$, y $z \leq 18 - 2x - 3y$. - Para $z \geq 0$, $18 - 2x - 3y \geq 0 \Rightarrow 3y \leq 18 - 2x \Rightarrow y \leq 6 - \frac{2}{3}x$. - Para $y \geq 0$, $x$ varía entre $0$ y $9$ (cuando $y=0$, $18 - 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 9$). - El volumen es: $$V = \int_0^9 \int_0^{6 - \frac{2}{3}x} (18 - 2x - 3y) dy dx.$$ - Integramos respecto a $y$: $$\int_0^{6 - \frac{2}{3}x} (18 - 2x - 3y) dy = \left[(18 - 2x)y - \frac{3y^2}{2}\right]_0^{6 - \frac{2}{3}x}.$$ - Evaluamos: $$= (18 - 2x)\left(6 - \frac{2}{3}x\right) - \frac{3}{2} \left(6 - \frac{2}{3}x\right)^2.$$ - Simplificamos y luego integramos respecto a $x$ de 0 a 9 para obtener el volumen. --- 4. Problema: Comprobar si $x^2 y^2 + 2xy = C_1$ es solución de la ecuación diferencial $$(xy^2 + 2y) dx + (x^2 y + x) dy = 0.$$ 5. Desarrollo: - Derivamos $F(x,y) = x^2 y^2 + 2xy$: $$\frac{\partial F}{\partial x} = 2xy^2 + 2y,$$ $$\frac{\partial F}{\partial y} = 2x^2 y + 2x.$$ - La ecuación diferencial es exacta si: $$M = xy^2 + 2y = \frac{\partial F}{\partial x},$$ $$N = x^2 y + x = \frac{\partial F}{\partial y}.$$ - Comprobamos: $$M = 2xy^2 + 2y \neq xy^2 + 2y,$$ $$N = 2x^2 y + 2x \neq x^2 y + x.$$ - Por lo tanto, $x^2 y^2 + 2xy = C_1$ no es solución. --- 5. Problema: Resolver la ecuación diferencial $$(2xy + y^2) dx = (x^2 - 2y^2) dy.$$ 6. Desarrollo: - Reescribimos: $$(2xy + y^2) dx - (x^2 - 2y^2) dy = 0.$$ - Verificamos si es exacta: $$M = 2xy + y^2,$$ $$N = -(x^2 - 2y^2) = -x^2 + 2y^2.$$ - Derivadas parciales: $$\frac{\partial M}{\partial y} = 2x + 2y,$$ $$\frac{\partial N}{\partial x} = -2x.$$ - No son iguales, no es exacta. - Buscamos un factor integrante o intentamos separar variables o usar otro método. - Por ejemplo, dividir por $y^2$ si $y \neq 0$: $$\left(2x + y\right) dx = \left(\frac{x^2}{y^2} - 2\right) dy,$$ - O usar sustitución o método adecuado para resolver. --- Respuesta final: 1. Integral triple expresada y lista para evaluación numérica. 2. Área calculada: $1.5$ unidades cuadradas. 3. Volumen expresado en integral doble para evaluación. 4. No es solución la función dada. 5. Ecuación diferencial no exacta, requiere método adicional para resolver.