1. Problema: Calcular la integral triple $$ I = \int_1^3 \sqrt{4-(x-2)^2} \int_0^{y^2} \frac{\sin(3y)}{6-z} \, dz \, dy \, dx. $$ Paso 1: Observamos que la integral interna es respecto a $z$, con $y$ y $x$ constantes. Paso 2: Evaluamos la integral interna: $$ \int_0^{y^2} \frac{\sin(3y)}{6-z} dz = \sin(3y) \int_0^{y^2} \frac{1}{6-z} dz. $$ Paso 3: La integral de $\frac{1}{6-z}$ es $-\ln|6-z|$, entonces: $$ \sin(3y) [-\ln|6-z|]_0^{y^2} = \sin(3y) [-\ln|6 - y^2| + \ln 6] = \sin(3y) \ln \left( \frac{6}{6 - y^2} \right). $$ Paso 4: La integral queda: $$ I = \int_1^3 \sqrt{4-(x-2)^2} \int_0^3 \sin(3y) \ln \left( \frac{6}{6 - y^2} \right) dy \, dx. $$ Pero el límite superior de $y$ es $3$? No, el límite de $y$ es de la integral externa, que es de $y$ de 0 a $y^2$ en la integral interna, y $y$ va de 0 a 3? No, en el problema original, la integral es: $$ \int_1^3 \sqrt{4-(x-2)^2} \int_0^{y^2} \frac{\sin(3y)}{6-z} dz \, dy \, dx. $$ El orden es $dz$ de 0 a $y^2$, luego $dy$ de 1 a 3, luego $dx$ de 1 a 3. Paso 5: La integral interna ya está evaluada, entonces: $$ I = \int_1^3 \int_1^3 \sqrt{4-(x-2)^2} \sin(3y) \ln \left( \frac{6}{6 - y^2} \right) dy \, dx. $$ Paso 6: La integral en $x$ es: $$ \int_1^3 \sqrt{4-(x-2)^2} dx. $$ Esta es la integral de la semicircunferencia de radio 2 centrada en $x=2$, que es: $$ \text{Área semicircunferencia} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi. $$ Paso 7: Por lo tanto, $$ I = 2\pi \int_1^3 \sin(3y) \ln \left( \frac{6}{6 - y^2} \right) dy. $$ Esta integral en $y$ no tiene solución elemental simple, se deja expresada así. --- 2. Problema: Calcular el área delimitada por $$ x = y^2 + 1, \quad y - x = -2, \quad y = -1, \quad y = 2. $$ Paso 1: Reescribimos la recta oblicua: $$ y - x = -2 \Rightarrow x = y + 2. $$ Paso 2: La región está entre las curvas $x = y^2 + 1$ y $x = y + 2$ para $y$ entre $-1$ y $2$. Paso 3: El área es $$ A = \int_{-1}^2 \left[ (y + 2) - (y^2 + 1) \right] dy = \int_{-1}^2 (-y^2 + y + 1) dy. $$ Paso 4: Calculamos la integral: $$ \int (-y^2 + y + 1) dy = -\frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} + y + C. $$ Paso 5: Evaluamos en $-1$ y $2$: $$ A = \left[-\frac{(2)^3}{3} + \frac{(2)^2}{2} + 2 \right] - \left[-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} -1 \right] = \left[-\frac{8}{3} + 2 + 2 \right] - \left[ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} -1 \right]. $$ Paso 6: Simplificamos: $$ = \left( -\frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} -1 \right) = \left( \frac{12}{3} - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} -1 \right) = \frac{4}{3} - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} -1 \right). $$ Paso 7: Continuamos: $$ = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{3} + 1 - \frac{1}{2} = 1 + 1 - 0.5 = 1.5. $$ Por lo tanto, el área es $1.5$ unidades cuadradas. --- 3. Problema: Determinar el volumen del sólido delimitado por $$ z=0, \quad x=0, \quad y=0, \quad \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 3. $$ Paso 1: La ecuación del plano es $$ \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 3. $$ Paso 2: Despejamos $z$: $$ \frac{z}{6} = 3 - \frac{x}{3} - \frac{y}{2} \Rightarrow z = 18 - 2x - 3y. $$ Paso 3: El sólido está en el primer octante, con $x,y,z \geq 0$ y bajo el plano. Paso 4: Encontramos los límites para $x$ y $y$ cuando $z=0$: $$ 0 = 18 - 2x - 3y \Rightarrow 3y = 18 - 2x \Rightarrow y = \frac{18 - 2x}{3} = 6 - \frac{2}{3}x. $$ Paso 5: Los límites son: $$ x: 0 \to 9 \quad (\text{cuando } y=0), $$ $$ y: 0 \to 6 - \frac{2}{3}x. $$ Paso 6: El volumen es $$ V = \int_0^9 \int_0^{6 - \frac{2}{3}x} (18 - 2x - 3y) dy \, dx. $$ Paso 7: Integramos respecto a $y$: $$ \int_0^{6 - \frac{2}{3}x} (18 - 2x - 3y) dy = \left[ (18 - 2x) y - \frac{3y^2}{2} \right]_0^{6 - \frac{2}{3}x}. $$ Paso 8: Evaluamos: $$ (18 - 2x) \left(6 - \frac{2}{3}x \right) - \frac{3}{2} \left(6 - \frac{2}{3}x \right)^2. $$ Paso 9: Simplificamos: $$ (18 - 2x)(6 - \frac{2}{3}x) = 108 - 12x - 12x + \frac{4}{3}x^2 = 108 - 24x + \frac{4}{3}x^2. $$ Paso 10: $$ \left(6 - \frac{2}{3}x \right)^2 = 36 - 2 \cdot 6 \cdot \frac{2}{3} x + \left( \frac{2}{3} x \right)^2 = 36 - 8x + \frac{4}{9} x^2. $$ Paso 11: Entonces $$ \frac{3}{2} \left(36 - 8x + \frac{4}{9} x^2 \right) = 54 - 12x + \frac{2}{3} x^2. $$ Paso 12: La integral interna es $$ 108 - 24x + \frac{4}{3} x^2 - (54 - 12x + \frac{2}{3} x^2) = 54 - 12x + \frac{2}{3} x^2. $$ Paso 13: Ahora integramos respecto a $x$: $$ V = \int_0^9 \left(54 - 12x + \frac{2}{3} x^2 \right) dx = \left[54x - 6x^2 + \frac{2}{9} x^3 \right]_0^9. $$ Paso 14: Evaluamos en 9: $$ 54 \cdot 9 - 6 \cdot 81 + \frac{2}{9} \cdot 729 = 486 - 486 + 162 = 162. $$ Por lo tanto, el volumen es $162$ unidades cúbicas. --- 4. Problema: Comprobar si $$ x^{2} y^{2} + 2 x y = C_1 $$ es solución de la ecuación diferencial $$ (x y^{2} + 2 y) dx + (x^{2} y + x) dy = 0. $$ Paso 1: Derivamos implícitamente la función: $$ F(x,y) = x^{2} y^{2} + 2 x y - C_1 = 0. $$ Paso 2: Derivamos respecto a $x$: $$ \frac{dF}{dx} = 2x y^{2} + x^{2} 2y \frac{dy}{dx} + 2 y + 2 x \frac{dy}{dx} = 0. $$ Paso 3: Agrupamos términos: $$ (2x y^{2} + 2 y) + (2 x^{2} y + 2 x) \frac{dy}{dx} = 0. $$ Paso 4: Reordenamos para obtener $\frac{dy}{dx}$: $$ (2 x^{2} y + 2 x) \frac{dy}{dx} = - (2 x y^{2} + 2 y) \Rightarrow \frac{dy}{dx} = - \frac{2 x y^{2} + 2 y}{2 x^{2} y + 2 x} = - \frac{x y^{2} + y}{x^{2} y + x}. $$ Paso 5: La ecuación diferencial dada es $$ (x y^{2} + 2 y) dx + (x^{2} y + x) dy = 0. $$ Paso 6: Dividimos por $dx$: $$ (x y^{2} + 2 y) + (x^{2} y + x) \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = - \frac{x y^{2} + 2 y}{x^{2} y + x}. $$ Paso 7: Comparamos con la derivada implícita: $$ - \frac{x y^{2} + y}{x^{2} y + x} \neq - \frac{x y^{2} + 2 y}{x^{2} y + x}. $$ Por lo tanto, la función propuesta no es solución de la ecuación diferencial. --- 5. Problema: Resolver la ecuación diferencial $$ (2 x y + y^{2}) dx = (x^{2} - 2 y^{2}) dy. $$ Paso 1: Reescribimos: $$ (2 x y + y^{2}) dx - (x^{2} - 2 y^{2}) dy = 0. $$ Paso 2: Definimos $$ M = 2 x y + y^{2}, \quad N = -(x^{2} - 2 y^{2}) = -x^{2} + 2 y^{2}. $$ Paso 3: Verificamos si es exacta: $$ \frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 y, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = -2 x. $$ No son iguales, no es exacta. Paso 4: Buscamos un factor integrante. Probamos $\mu = \frac{1}{y^2}$: Multiplicamos: $$ \tilde{M} = \frac{2 x y + y^{2}}{y^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2}} + 1 = \frac{2 x}{y} + 1, $$ $$ \tilde{N} = \frac{-x^{2} + 2 y^{2}}{y^{2}} = - \frac{x^{2}}{y^{2}} + 2. $$ Paso 5: Calculamos derivadas: $$ \frac{\partial \tilde{M}}{\partial y} = - \frac{2 x}{y^{2}}, \quad \frac{\partial \tilde{N}}{\partial x} = - \frac{2 x}{y^{2}}. $$ Son iguales, por lo que la ecuación multiplicada por $\frac{1}{y^{2}}$ es exacta. Paso 6: Encontramos la función potencial $\Psi(x,y)$ tal que $$ \frac{\partial \Psi}{\partial x} = \tilde{M} = \frac{2 x}{y} + 1. $$ Paso 7: Integramos respecto a $x$: $$ \Psi = \int \left( \frac{2 x}{y} + 1 \right) dx = \frac{1}{y} x^{2} + x + h(y). $$ Paso 8: Derivamos respecto a $y$: $$ \frac{\partial \Psi}{\partial y} = - \frac{1}{y^{2}} x^{2} + h'(y). $$ Paso 9: Igualamos a $\tilde{N}$: $$ - \frac{x^{2}}{y^{2}} + h'(y) = - \frac{x^{2}}{y^{2}} + 2 \Rightarrow h'(y) = 2. $$ Paso 10: Integramos: $$ h(y) = 2 y + C. $$ Paso 11: La función potencial es $$ \Psi(x,y) = \frac{x^{2}}{y} + x + 2 y = C. $$ Esta es la solución implícita de la ecuación diferencial. --- Respuesta final: 1. $$ I = 2 \pi \int_1^3 \sin(3y) \ln \left( \frac{6}{6 - y^2} \right) dy. $$ 2. Área = $1.5$ unidades cuadradas. 3. Volumen = $162$ unidades cúbicas. 4. La función propuesta no es solución. 5. Solución implícita: $$ \frac{x^{2}}{y} + x + 2 y = C. $$