1. Planteamos el problema: Se nos da la tasa de voltaje $A(t) = - \frac{6t^2 + 9t - 3}{(t^2 + 2t + 3)(t - 1)}$ milivoltios/minuto y el voltaje inicial $V(0) = 10.98$ milivoltios. 2. La función $A(t)$ representa la derivada del voltaje respecto al tiempo, es decir, $A(t) = \frac{dV}{dt}$. 3. Para encontrar el voltaje $V(t)$, debemos integrar $A(t)$ con respecto a $t$: $$V(t) = \int A(t) \, dt + C$$ 4. Primero, simplificamos la expresión de $A(t)$ para facilitar la integración. Factorizamos el numerador: $$6t^2 + 9t - 3 = 3(2t^2 + 3t - 1)$$ 5. Factorizamos el denominador: $$t^2 + 2t + 3$$ no se factoriza fácilmente (discriminante $= 4 - 12 = -8 < 0$), por lo que queda así. 6. Por lo tanto, $$A(t) = - \frac{3(2t^2 + 3t - 1)}{(t^2 + 2t + 3)(t - 1)}$$ 7. Usamos fracciones parciales para descomponer: $$- \frac{3(2t^2 + 3t - 1)}{(t^2 + 2t + 3)(t - 1)} = \frac{A}{t - 1} + \frac{Bt + C}{t^2 + 2t + 3}$$ 8. Multiplicamos ambos lados por el denominador común: $$-3(2t^2 + 3t - 1) = A(t^2 + 2t + 3) + (Bt + C)(t - 1)$$ 9. Expandimos y agrupamos términos: $$-6t^2 - 9t + 3 = A t^2 + 2A t + 3A + B t^2 - B t + C t - C$$ $$-6t^2 - 9t + 3 = (A + B) t^2 + (2A - B + C) t + (3A - C)$$ 10. Igualamos coeficientes: $$\begin{cases} A + B = -6 \\ 2A - B + C = -9 \\ 3A - C = 3 \end{cases}$$ 11. De la tercera ecuación: $C = 3A - 3$. 12. Sustituimos $C$ en la segunda: $$2A - B + (3A - 3) = -9 \Rightarrow 5A - B = -6$$ 13. Tenemos el sistema: $$\begin{cases} A + B = -6 \\ 5A - B = -6 \end{cases}$$ 14. Sumamos ambas ecuaciones: $$(A + B) + (5A - B) = -6 + (-6) \Rightarrow 6A = -12 \Rightarrow A = -2$$ 15. Sustituimos $A$ en $A + B = -6$: $$-2 + B = -6 \Rightarrow B = -4$$ 16. Calculamos $C$: $$C = 3(-2) - 3 = -6 - 3 = -9$$ 17. Por lo tanto, $$A(t) = \frac{-2}{t - 1} + \frac{-4t - 9}{t^2 + 2t + 3}$$ 18. Integramos cada término: $$V(t) = \int A(t) dt + C = \int \frac{-2}{t - 1} dt + \int \frac{-4t - 9}{t^2 + 2t + 3} dt + C$$ 19. La primera integral: $$\int \frac{-2}{t - 1} dt = -2 \ln|t - 1|$$ 20. Para la segunda integral, completamos el cuadrado en el denominador: $$t^2 + 2t + 3 = (t + 1)^2 + 2$$ 21. Reescribimos el numerador: $$-4t - 9 = -4(t + 1) - 5$$ 22. Entonces, $$\int \frac{-4t - 9}{t^2 + 2t + 3} dt = \int \frac{-4(t + 1) - 5}{(t + 1)^2 + 2} dt = -4 \int \frac{t + 1}{(t + 1)^2 + 2} dt - 5 \int \frac{1}{(t + 1)^2 + 2} dt$$ 23. La primera integral es: $$-4 \cdot \frac{1}{2} \ln((t + 1)^2 + 2) = -2 \ln((t + 1)^2 + 2)$$ 24. La segunda integral es: $$-5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \left( \frac{t + 1}{\sqrt{2}} \right) = - \frac{5}{\sqrt{2}} \arctan \left( \frac{t + 1}{\sqrt{2}} \right)$$ 25. Sumamos todas las partes: $$V(t) = -2 \ln|t - 1| - 2 \ln((t + 1)^2 + 2) - \frac{5}{\sqrt{2}} \arctan \left( \frac{t + 1}{\sqrt{2}} \right) + C$$ 26. Usamos la condición inicial $V(0) = 10.98$ para encontrar $C$: $$10.98 = -2 \ln|0 - 1| - 2 \ln(1^2 + 2) - \frac{5}{\sqrt{2}} \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + C$$ $$10.98 = -2 \ln 1 - 2 \ln 3 - \frac{5}{\sqrt{2}} \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + C$$ $$10.98 = 0 - 2 \ln 3 - \frac{5}{\sqrt{2}} \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + C$$ 27. Calculamos valores numéricos aproximados: $$\ln 3 \approx 1.0986$$ $$\arctan \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \approx 0.6155$$ $$- 2 \ln 3 \approx -2.1972$$ $$- \frac{5}{\sqrt{2}} \times 0.6155 \approx -2.174$$ 28. Entonces, $$10.98 = -2.1972 - 2.174 + C = -4.3712 + C$$ $$C = 10.98 + 4.3712 = 15.3512$$ 29. Finalmente, la función voltaje es: $$V(t) = -2 \ln|t - 1| - 2 \ln((t + 1)^2 + 2) - \frac{5}{\sqrt{2}} \arctan \left( \frac{t + 1}{\sqrt{2}} \right) + 15.3512$$