1. Problema 4: De quantas formas diferentes se podem dispor 10 jovens em fila, com Ana, Diogo e Francisco juntos? 2. Fórmula usada: Para contar arranjos com um grupo de elementos juntos, tratamos o grupo como uma unidade. 3. Passos: - Considere Ana, Diogo e Francisco como um bloco único. - Assim, temos $10 - 3 + 1 = 8$ unidades para ordenar (o bloco + os outros 7 jovens). - O número de formas de ordenar essas 8 unidades é $8!$. - Dentro do bloco, Ana, Diogo e Francisco podem ser ordenados de $3!$ formas. - Logo, o total de arranjos é $8! \times 3!$. 4. Cálculo: $$8! = 40320$$ $$3! = 6$$ $$8! \times 3! = 40320 \times 6 = 241920$$ 5. Resposta: Existem 241920 formas diferentes. --- 1. Problema 5: Quantos números naturais de cinco algarismos diferentes, formados com dígitos de 0 a 5, têm o algarismo das unidades igual a 5? 2. Fórmula usada: Contagem de números com restrição na unidade e dígitos distintos. 3. Passos: - O último dígito é fixo: 5. - Os outros 4 dígitos são escolhidos entre {0,1,2,3,4} sem repetição. - O primeiro dígito não pode ser 0 (para ser número de cinco algarismos). - Número de formas de escolher e ordenar os 4 dígitos restantes com essa restrição. 4. Cálculo: - Escolha do primeiro dígito: 4 opções (1,2,3,4) - Para os 3 dígitos seguintes: permutação dos 4 dígitos restantes (excluindo o escolhido para o primeiro dígito e o 5 fixo) - Número de formas para os 3 dígitos seguintes: $P(4,3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ - Total: $4 \times 24 = 96$ 5. Resposta: Existem 96 números com unidade igual a 5. --- 1. Problema 6: Explicar a expressão $3 \times \binom{12}{2} + \binom{3}{2} \times A(12,2)$ no contexto do jogo Semáforo. 2. Explicação: - $3 \times \binom{12}{2}$: Escolher 2 casas dentre 12 para colocar duas peças da mesma cor (3 cores possíveis). - $\binom{3}{2} \times A(12,2)$: Escolher 2 cores diferentes dentre 3 para as peças, e escolher 2 casas distintas para colocar essas peças em ordem (arranjo de 12 casas em 2 posições). --- 1. Problema 7: De quantos modos Fernanda pode repartir 5 livros e 7 canetas diferentes entre dois netos, com as condições dadas? 2. Condições: - Caso 1: Um neto recebe 3 livros e 3 canetas, o outro recebe o restante. - Caso 2: Um neto recebe 4 livros e 2 canetas, o outro recebe o restante. 3. Cálculo: - Para livros: $\binom{5}{3} = 10$ e $\binom{5}{4} = 5$ - Para canetas: $\binom{7}{3} = 35$ e $\binom{7}{2} = 21$ - Total modos: - Caso 1: $10 \times 35 = 350$ - Caso 2: $5 \times 21 = 105$ - Como o neto que recebe pode ser qualquer um dos dois, multiplicar por 2: - Caso 1: $350 \times 2 = 700$ - Caso 2: $105 \times 2 = 210$ - Total geral: $700 + 210 = 910$ --- 1. Problema 8: Determinar $n$ sabendo que com 5 pontos na reta $r$ e $n$ pontos na reta $s$ paralelas, formam-se 175 triângulos. 2. Fórmula para triângulos formados por pontos em duas retas paralelas: $$\text{Número de triângulos} = \binom{5}{2} \times n + \binom{n}{2} \times 5$$ 3. Cálculo: $$\binom{5}{2} = 10$$ $$\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$$ 4. Equação: $$10n + 5 \times \frac{n(n-1)}{2} = 175$$ $$10n + \frac{5n(n-1)}{2} = 175$$ $$20n + 5n(n-1) = 350$$ (multiplicando ambos os lados por 2) $$20n + 5n^2 - 5n = 350$$ $$5n^2 + 15n - 350 = 0$$ $$n^2 + 3n - 70 = 0$$ 5. Resolvendo a equação quadrática: $$n = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 280}}{2} = \frac{-3 \pm 17}{2}$$ 6. Soluções: - $n = \frac{-3 + 17}{2} = 7$ - $n = \frac{-3 - 17}{2} = -10$ (descartado pois $n$ é positivo) 7. Resposta: $n = 7$ --- 1. Problema 9: Expressão para distribuir 14 pessoas em 14 lugares, com restrições. 2. Dados: - 14 pessoas: 3 dirigentes (2 condutores), 1 treinador, 5 jogadores masculinos, 5 jogadores femininos. - Veículos: carro 5 lugares, carrinha 9 lugares. - Condições: 2 condutores são 2 dirigentes; no carro vão 2 jogadores masculinos e 2 femininos. 3. Expressão: - Escolher 2 condutores entre 3 dirigentes: $\binom{3}{2}$ - Distribuir os 2 condutores nos 2 lugares de condutor (2! formas) - Escolher 2 jogadores masculinos para o carro: $\binom{5}{2}$ - Escolher 2 jogadores femininos para o carro: $\binom{5}{2}$ - Distribuir os 4 jogadores nos 4 lugares do carro (4! formas) - Distribuir os restantes 8 pessoas nos 8 lugares da carrinha (8! formas) 4. Total de maneiras: $$\binom{3}{2} \times 2! \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{2} \times 4! \times 8!$$ --- 1. Problema 10: De quantas maneiras se podem distribuir 3 hóspedes suecos e 4 dinamarqueses em 4 motos de 2 lugares, sabendo que só dinamarqueses podem conduzir? 2. Passos: - Cada moto tem 2 lugares: condutor e passageiro. - Só os 4 dinamarqueses podem ser condutores. - Escolher 4 condutores entre 4 dinamarqueses: $4!$ (permutações para as 4 motos) - Os 3 suecos e 4 dinamarqueses restantes (7 pessoas) são passageiros. - Escolher 4 passageiros entre 7 para as motos: $P(7,4) = \frac{7!}{3!} = 840$ 3. Total de maneiras: $$4! \times 840 = 24 \times 840 = 20160$$ 4. Como as motos são distintas, e as posições condutor/passageiro são fixas, o total é 20160. 5. Nenhuma das opções corresponde exatamente, mas o problema pede número de maneiras distintas, então a resposta correta é 20160 (não listado). --- 1. Problema 11: Quantos números naturais entre 10000 e 21999 podem ser escritos com dígitos 0,1,2,3? 2. Passos: - Números de 5 dígitos: $10000 \leq n < 22000$ - Primeiro dígito pode ser 1 ou 2 (pois 0 não é válido para 5 dígitos) - Se primeiro dígito é 1: os outros 4 dígitos podem ser 0,1,2,3 (4 opções cada) - Se primeiro dígito é 2: os números vão até 21999, então os próximos dígitos devem ser de 0 a 1 para o segundo dígito, e 0 a 3 para os demais, com restrição no segundo dígito 3. Cálculo: - Caso 1 (primeiro dígito 1): $4^4 = 256$ - Caso 2 (primeiro dígito 2): segundo dígito pode ser 0 ou 1 (2 opções), os outros 3 dígitos 0 a 3 (4 opções cada) - Total caso 2: $2 \times 4^3 = 2 \times 64 = 128$ 4. Total números: $256 + 128 = 384$ 5. Resposta: 384 números