1. **Énoncé du problème :** Nous devons analyser et déterminer diverses fonctions de transfert dans un système asservi représenté par un schéma fonctionnel classique en boucle fermée avec les blocs $G(p)$ et $H(p)$. 2. **a. Représentation générale des schémas fonctionnels :** - Schéma fonctionnel d’un système asservi en boucle fermée : $$Y(p) = G(p) \times [X(p) - H(p) \times Y(p)]$$ - Forme réduite : Cette équation traduit la rétroaction négative. 3. **b. Fonction de transfert à boucle fermée (FTBF) :** Partant de l’équation : $$Y(p) = G(p) [X(p) - H(p) Y(p)]$$ On regroupe les termes en $Y(p)$ : $$Y(p) + G(p) H(p) Y(p) = G(p) X(p)$$ Donc : $$Y(p) [1 + G(p) H(p)] = G(p) X(p)$$ D’où la fonction de transfert à boucle fermée : $$\boxed{\displaystyle FTBF = \frac{Y(p)}{X(p)} = \frac{G(p)}{1 + G(p) H(p)}}$$ 4. **c. Fonction de transfert à boucle ouverte (FTBO) :** En ouvrant la boucle à la sortie du bloc de mesure, la sortie est la valeur mesurée. La fonction de transfert à boucle ouverte est simplement le chemin direct entre entrée et sortie sans rétroaction : $$\boxed{\displaystyle FTBO = G(p) H(p)}$$ 5. **d. Fonctions de transfert des systèmes donnés par équations différentielles $b_1$, $b_2$, et $b_3$ :** Sans expressions spécifiques pour $b_1$, $b_2$, et $b_3$, la méthode générale pour obtenir la fonction de transfert d’un système linéaire à partir d’une équation différentielle est : - Ecrire l’équation différentielle en variables temporelles. - Appliquer la transformée de Laplace en imposant conditions initiales nulles. - Exprimer la fonction de transfert $\displaystyle FT(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$ comme quotient des polynômes en $s$ issus de l’équation. 6. **e. Réponse générale à une entrée impulsion de Dirac :** L’entrée en impulsion de Dirac $\delta(t)$ a pour transformée de Laplace : $$X(s) = 1$$ La sortie dans ce cas est la transformée inverse de la fonction de transfert : $$y(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ FT(s) \}$$ Ce qui conduit à la réponse impulsionnelle du système. 7. **2.1. Simplification des schémas fonctionnels selon les cas :** **2.1.1 Fonctions de transfert en cascade :** Les fonctions de transfert en cascade se multiplient : $$FT = F(s) \times G(s)$$ **2.1.2 Fonctions de transfert en dérivation :** Le signal d’entrée est injecté dans $F(s)$, puis sommée avec le passage par $G(s)$. L’expression globale est : $$Y(s) = F(s) X(s) + G(s) X(s) = [F(s) + G(s)] X(s)$$ Donc la fonction de transfert est : $$FT = F(s) + G(s)$$ **2.1.3 Déplacement d’un nœud en amont ou en aval :** Ces déplacements ne changent pas la fonction de transfert globale. Exemple pour amont : $$Y_1(s) = F(s) X(s), \quad Y_2(s) = G(s) Y_1(s) = G(s) F(s) X(s)$$ Et inversement pour aval. **2.1.4 & 2.1.5 Déplacement d’un comparateur amont/aval d’une FT :** Pour la figure 5 (amont) : $$Y(s) = F(s) X_1(s) + G(s) X_2(s)$$ Pour la figure 6 (aval) : $$Y(s) = F(s) [X_1(s) + G(s) X_2(s)] = F(s) X_1(s) + F(s) G(s) X_2(s)$$ 8. **Application aux schémas fonctionnels (2.1.6) :** - Simplifier les schémas en appliquant les règles précédentes pour trouver une fonction de transfert réduite. **Résumé final important :** $$\boxed{\begin{cases} FTBF = \frac{G(p)}{1 + G(p) H(p)} \\ FTBO = G(p) H(p) \\ FT \, \text{en cascade} = F(s) G(s) \\ FT \, \text{en dérivation} = F(s) + G(s) \\ \end{cases}}$$ Cette démarche résout les différentes questions posées sur la fonction de transfert du système asservi.