1. Problema: Matas nori pėsčiomis įveikti 190 kilometrų maršrutą. Pirmą dieną jis nuėjo 10 km, o kiekvieną kitą dieną nueidavo 2 km daugiau nei prieš tai buvusią dieną. Reikia rasti, kelintą dieną jis pasiekė tikslą. 2. Naudosime aritmetinės progresijos sumos formulę, nes kiekvienos dienos nueitas atstumas didėja pastoviu skirtumu: $$S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$$ čia $S_n$ – bendra nueita distancija per $n$ dienų, $a_1 = 10$ km – pirmos dienos atstumas, $d = 2$ km – dienos atstumo padidėjimas, $n$ – dienų skaičius. 3. Reikia rasti mažiausią $n$, kad suma $S_n$ būtų bent 190 km: $$\frac{n}{2} (2 \times 10 + (n-1) \times 2) \geq 190$$ 4. Supaprastiname: $$\frac{n}{2} (20 + 2n - 2) \geq 190$$ $$\frac{n}{2} (18 + 2n) \geq 190$$ $$\frac{n}{2} \times 2(n + 9) \geq 190$$ $$n(n + 9) \geq 190$$ 5. Išsprendžiame kvadratinę nelygybę: $$n^2 + 9n - 190 \geq 0$$ 6. Randame kvadratinės lygties $n^2 + 9n - 190 = 0$ šaknis: $$n = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \times 1 \times (-190)}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 760}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{841}}{2}$$ $$\sqrt{841} = 29$$ Taigi: $$n_1 = \frac{-9 + 29}{2} = 10$$ $$n_2 = \frac{-9 - 29}{2} = -19$$ (neigiamas, nepriimtinas) 7. Kadangi $n$ turi būti teigiamas sveikasis skaičius, tai $n = 10$. 8. Patikriname sumą 10 dienų: $$S_{10} = \frac{10}{2} (2 \times 10 + (10-1) \times 2) = 5 (20 + 18) = 5 \times 38 = 190$$ Taigi, Matas pasiekė tikslą 10-ą kelionės dieną. **Atsakymas:** Matas pasiekė tikslą 10-ą dieną.