1. 問題陳述：在一個由4行5列小長方形組成的網格中，有多少個長方形？ 2. 公式與規則： - 長方形的數量等於所有可能的水平邊數選擇乘以所有可能的垂直邊數選擇。 - 水平邊數為行數加1，垂直邊數為列數加1。 3. 計算： - 水平邊數：$4 + 1 = 5$ - 垂直邊數：$5 + 1 = 6$ - 長方形數量：$\binom{5}{2} \times \binom{6}{2} = 10 \times 15 = 150$ 4. 答案：共有150個長方形。 --- 1. 問題陳述：六個連續整數的和是243，求最大的整數。 2. 公式與規則： - 設六個連續整數為 $n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5$ - 和為 $6n + 15 = 243$ 3. 計算： - $6n + 15 = 243$ - $6n = 243 - 15 = 228$ - $n = \frac{228}{6} = 38$ - 最大整數為 $n+5 = 38 + 5 = 43$ 4. 答案：最大的整數是43。 --- 1. 問題陳述：求 $3^{2024} + 6^{2025}$ 的個位數。 2. 公式與規則： - 個位數循環性分析。 - $3^n$ 的個位數循環為：3,9,7,1，週期4。 - $6^n$ 的個位數永遠是6。 3. 計算： - $2024 \mod 4 = 0$，所以 $3^{2024}$ 個位數是1。 - $6^{2025}$ 個位數是6。 - 和的個位數為 $1 + 6 = 7$ 4. 答案：個位數是7。 --- 1. 問題陳述：求和 $\frac{5}{2\times7} + \frac{5}{7\times12} + ... + \frac{5}{32\times37}$。 2. 公式與規則： - 項目形式為 $\frac{5}{(5k-3)(5k+2)}$，其中 $k$ 從1開始。 - 使用部分分式分解： $$\frac{5}{(5k-3)(5k+2)} = \frac{A}{5k-3} + \frac{B}{5k+2}$$ 3. 計算部分分式： - 解得 $A=1$, $B=-1$ - 因此每項為 $\frac{1}{5k-3} - \frac{1}{5k+2}$ 4. 求和： - 和為 $\sum_{k=1}^6 \left( \frac{1}{5k-3} - \frac{1}{5k+2} \right)$ - 展開後為： $$\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{12}\right) + \left(\frac{1}{12} - \frac{1}{17}\right) + \left(\frac{1}{17} - \frac{1}{22}\right) + \left(\frac{1}{22} - \frac{1}{27}\right) + \left(\frac{1}{27} - \frac{1}{32}\right)$$ - 中間項相互抵消，剩下 $\frac{1}{2} - \frac{1}{32} = \frac{16}{32} - \frac{1}{32} = \frac{15}{32}$ 5. 答案：和為 $\frac{15}{32}$。 --- 1. 問題陳述：若 $k$ 是整數且 $k^2 = 5880625$，求 $k$。 2. 公式與規則： - $k = \pm \sqrt{5880625}$ 3. 計算： - 估算平方根，$2425^2 = 5880625$ 4. 答案：$k = \pm 2425$。 --- 1. 問題陳述：計算 $$\left(4 \times \frac{1}{507} - \frac{10}{1014}\right) \times \left(\frac{1}{1012} + \frac{2}{1012} + ... + \frac{1013}{1012}\right)$$ 2. 公式與規則： - 簡化括號內的運算。 - 等差數列求和公式：$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ 3. 計算第一部分： - $4 \times \frac{1}{507} = \frac{4}{507}$ - $\frac{10}{1014} = \frac{10}{2 \times 507} = \frac{5}{507}$ - $\frac{4}{507} - \frac{5}{507} = -\frac{1}{507}$ 4. 計算第二部分： - 分母為1012，分子從1到1013，項數為1013 - 分子和為 $\frac{1013 \times 1014}{2} = 513,591$ - 和為 $\frac{513,591}{1012}$ 5. 總計： - $-\frac{1}{507} \times \frac{513,591}{1012} = -\frac{513,591}{507 \times 1012}$ - $507 \times 1012 = 513,084$ - 約分後結果為 $-\frac{513,591}{513,084} \approx -1.001$，但精確值為分數形式。 6. 答案：結果為 $-\frac{513,591}{513,084}$。 --- 1. 問題陳述：求96可表示為三個不同正整數連乘的方式數量。 2. 公式與規則： - 找出所有三個不同正整數 $a < b < c$，使得 $a \times b \times c = 96$ 3. 計算： - 分解質因數：$96 = 2^5 \times 3$ - 列舉所有三個不同正整數組合，檢查乘積是否為96 - 結果有8種不同組合 4. 答案：共有8種方式。 --- 1. 問題陳述：求和 $9 + 989 + 98789 + ... + 98765432123456789$ 的最右邊4位數字。 2. 公式與規則： - 只需計算每項的最後4位數字相加後的最後4位 3. 計算： - 每項的最後4位數字分別為： - 9 -> 0009 - 989 -> 0989 - 98789 -> 8789 - 以此類推，最後一項為 98765432123456789 的最後4位數字是6789 - 將所有最後4位數字相加，取模10000 4. 答案：最右邊4位數字為6795。