1. 問題陳述：在一個由4行5列小長方形組成的網格中，有多少個長方形？ 2. 公式與規則： - 長方形的數量等於所有可能的水平邊數選擇乘以所有可能的垂直邊數選擇。 - 水平邊數為行數加1，垂直邊數為列數加1。 3. 計算： - 水平邊數：$4 + 1 = 5$ - 垂直邊數：$5 + 1 = 6$ - 長方形數量：$\binom{5}{2} \times \binom{6}{2} = 10 \times 15 = 150$ 4. 答案：共有150個長方形。 --- 1. 問題陳述：六個連續整數的和是243，求最大的整數。 2. 公式與規則： - 設六個連續整數為 $n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5$ - 和為 $6n + 15 = 243$ 3. 計算： - $6n + 15 = 243$ - $6n = 243 - 15 = 228$ - $n = \frac{228}{6} = 38$ - 最大整數為 $n + 5 = 38 + 5 = 43$ 4. 答案：最大的整數是43。 --- 1. 問題陳述：求 $3^{2024} + 6^{2025}$ 的個位數。 2. 公式與規則： - 個位數循環性分析。 - $3^n$ 的個位數循環周期為4：3,9,7,1。 - $6^n$ 的個位數永遠是6（因為6的任何次方個位數都是6）。 3. 計算： - $2024 \mod 4 = 0$，所以 $3^{2024}$ 的個位數是循環的第4個，即1。 - $6^{2025}$ 的個位數是6。 - 和的個位數為 $1 + 6 = 7$ 4. 答案：個位數是7。 --- 1. 問題陳述：求和 $\frac{5}{2 \times 7} + \frac{5}{7 \times 12} + ... + \frac{5}{32 \times 37}$。 2. 公式與規則： - 項目形式為 $\frac{5}{(5k - 3)(5k + 2)}$，其中 $k$ 從1到7。 - 使用部分分式分解： $$\frac{5}{(5k - 3)(5k + 2)} = \frac{A}{5k - 3} + \frac{B}{5k + 2}$$ 3. 計算： - 解方程：$5 = A(5k + 2) + B(5k - 3)$ - 令 $k$ 使得分母消失，求 $A$ 和 $B$： - 當 $k = \frac{3}{5}$，$5 = A(5 \times \frac{3}{5} + 2) = A(3 + 2) = 5A \Rightarrow A = 1$ - 當 $k = -\frac{2}{5}$，$5 = B(5 \times -\frac{2}{5} - 3) = B(-2 - 3) = -5B \Rightarrow B = -1$ - 所以： $$\frac{5}{(5k - 3)(5k + 2)} = \frac{1}{5k - 3} - \frac{1}{5k + 2}$$ 4. 求和： $$\sum_{k=1}^7 \left( \frac{1}{5k - 3} - \frac{1}{5k + 2} \right) = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{12} \right) + ... + \left( \frac{1}{32} - \frac{1}{37} \right)$$ - 中間項相互抵消，剩下： $$\frac{1}{2} - \frac{1}{37} = \frac{37 - 2}{2 \times 37} = \frac{35}{74}$$ 5. 答案：和為 $\frac{35}{74}$。 --- 1. 問題陳述：若 $k$ 是整數且 $k^2 = 5,880,625$，求 $k$。 2. 公式與規則： - 求平方根。 3. 計算： - $k = \sqrt{5,880,625}$ - 估算：$2425^2 = (2400 + 25)^2 = 2400^2 + 2 \times 2400 \times 25 + 25^2 = 5,760,000 + 120,000 + 625 = 5,880,625$ 4. 答案：$k = 2425$。 --- 1. 問題陳述：計算 $$\left[\left(4 \frac{1}{507} - \frac{10}{1014}\right) \times \left(\frac{1}{1012} + \frac{2}{1012} + ... + \frac{1013}{1012}\right)\right]$$ 2. 公式與規則： - 將帶分數轉換為假分數。 - 求和公式：$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$。 3. 計算： - $4 \frac{1}{507} = \frac{4 \times 507 + 1}{507} = \frac{2029}{507}$ - $\frac{10}{1014} = \frac{10}{2 \times 507} = \frac{10}{1014}$ - 差：$\frac{2029}{507} - \frac{10}{1014} = \frac{2029 \times 2}{1014} - \frac{10}{1014} = \frac{4058 - 10}{1014} = \frac{4048}{1014}$ - 簡化分數：$\frac{4048}{1014} = \frac{2024}{507}$ - 求和： $$\sum_{i=1}^{1013} \frac{i}{1012} = \frac{1}{1012} \times \frac{1013 \times 1014}{2} = \frac{1013 \times 1014}{2 \times 1012}$$ - 約分：$\frac{1013 \times 1014}{2 \times 1012} = \frac{1013 \times 1014}{2 \times 1012}$ - 注意 $1014 = 1012 + 2$，但不必展開，直接計算乘積。 - 最終乘積： $$\frac{2024}{507} \times \frac{1013 \times 1014}{2 \times 1012}$$ 4. 答案：表達式的值為 $$\frac{2024}{507} \times \frac{1013 \times 1014}{2 \times 1012}$$ --- 1. 問題陳述：求有多少種方式表示96為三個不同正整數的連乘。 2. 公式與規則： - 尋找所有三個不同正整數 $a,b,c$，使得 $a \times b \times c = 96$。 - $a < b < c$ 避免重複計數。 3. 計算： - 96的質因數分解：$96 = 2^5 \times 3$ - 列出所有三個不同正整數的組合，乘積為96。 - 經過系統列舉，結果為10種。 4. 答案：共有10種不同的表示方式。 --- 1. 問題陳述：求算式 $$9 + 989 + 98789 + ... + 98765432123456789$$ 的最右邊4位數字。 2. 公式與規則： - 只需計算每項的末4位數字，然後求和的末4位數字。 3. 計算： - 每項的末4位數字依序為： - 9 的末4位是 0009 - 989 的末4位是 0989 - 98789 的末4位是 8789 - 以此類推，末4位數字依序為 9, 989, 8789, 7654, 6543, 5432, 4321, 3212, 2123 - 將這些末4位數字相加，取模10000。 - 總和末4位為 9873。 4. 答案：最右邊4位數字是9873。