1. 問題陳述：在一個4行5列的長方形網格中，有多少個長方形？ 2. 公式與規則： - 在一個m行n列的網格中，長方形的數量為 $$\frac{m(m+1)}{2} \times \frac{n(n+1)}{2}$$。 - 這是因為選擇兩條水平線和兩條垂直線形成一個長方形。 3. 計算： - 水平線數量為行數加1，即5條。 - 垂直線數量為列數加1，即6條。 - 長方形數量為 $$\frac{4 \times 5}{2} \times \frac{5 \times 6}{2} = 10 \times 15 = 150$$。 --- 1. 問題陳述：六個連續整數的和是243，求最大的整數。 2. 公式與規則： - 設六個連續整數為 $$x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5$$。 - 和為 $$6x + 15 = 243$$。 3. 計算： - 解方程 $$6x + 15 = 243 \Rightarrow 6x = 228 \Rightarrow x = 38$$。 - 最大整數為 $$x+5 = 43$$。 --- 1. 問題陳述：求 $$3^{2024} + 6^{2025}$$ 的個位數。 2. 公式與規則： - 個位數循環性分析。 - 3的個位數循環周期為4：3,9,7,1。 - 6的個位數永遠是6。 3. 計算： - $$2024 \mod 4 = 0$$，所以 $$3^{2024}$$ 個位數是1。 - $$6^{2025}$$ 個位數是6。 - 總和個位數為 $$1 + 6 = 7$$。 --- 1. 問題陳述：求和 $$\frac{5}{2 \times 7} + \frac{5}{7 \times 12} + ... + \frac{5}{32 \times 37}$$。 2. 公式與規則： - 通項為 $$\frac{5}{(5k-3)(5k+2)}$$，其中 $$k$$ 從1到7。 - 使用部分分式分解： $$\frac{5}{(5k-3)(5k+2)} = \frac{A}{5k-3} + \frac{B}{5k+2}$$。 3. 計算： - 解得 $$A=1$$，$$B=-1$$。 - 和式變為 $$\sum_{k=1}^7 \left( \frac{1}{5k-3} - \frac{1}{5k+2} \right)$$。 - 展開後大部分項目抵消，剩下 $$\frac{1}{2} - \frac{1}{37} = \frac{35}{74}$$。 --- 1. 問題陳述：若 $$k$$ 是整數且 $$k^2 = 5880625$$，求 $$k$$。 2. 公式與規則： - $$k = \pm \sqrt{5880625}$$。 3. 計算： - 估算平方根，發現 $$2425^2 = 5880625$$。 - 因為 $$k$$ 是整數，且平方為正，故 $$k = \pm 2425$$。 --- 1. 問題陳述：計算 $$\left[4 \times \left(\frac{1}{507} - \frac{10}{1014}\right)\right] \times \left(\frac{1}{1012} + \frac{2}{1012} + ... + \frac{1013}{1012}\right)$$。 2. 公式與規則： - 簡化括號內的分數。 - 等差數列求和。 3. 計算： - $$\frac{10}{1014} = \frac{5}{507}$$，所以 $$\frac{1}{507} - \frac{10}{1014} = \frac{1}{507} - \frac{5}{507} = -\frac{4}{507}$$。 - 第一部分為 $$4 \times -\frac{4}{507} = -\frac{16}{507}$$。 - 第二部分和為 $$\frac{1+2+...+1013}{1012} = \frac{\frac{1013 \times 1014}{2}}{1012} = \frac{1013 \times 1014}{2 \times 1012}$$。 - 約分得 $$\frac{1013 \times 507}{1012}$$。 - 整體乘積為 $$-\frac{16}{507} \times \frac{1013 \times 507}{1012} = -\frac{16 \times 1013}{1012} = -\frac{16208}{1012} = -16$$。 --- 1. 問題陳述：求96可表示為三個不同正整數連乘的方式數。 2. 公式與規則： - 尋找三個不同正整數 $$a < b < c$$，使 $$a \times b \times c = 96$$。 - 96的質因數分解為 $$2^5 \times 3$$。 3. 計算： - 列舉所有三因數組合，確保不同且乘積為96。 - 有效組合為 (1,2,48), (1,3,32), (1,4,24), (1,6,16), (1,8,12), (2,3,16), (2,4,12), (2,6,8), (3,4,8) 共9種。 --- 1. 問題陳述：求和 $$9 + 989 + 98789 + ... + 98765432123456789$$ 的最右邊4位數字。 2. 公式與規則： - 每項數字的結尾4位數。 - 利用模10000計算。 3. 計算： - 項目依次為9, 989, 98789, 98765432123456789等。 - 取每項模10000後相加。 - 由於數字結構，最後4位數為6789。 --- 最終答案： 1. 150 2. 43 3. 7 4. 35/74 5. ±2425 6. -16 7. 9 8. 6789