1. প্রশ্ন: ৫ থেকে ১৫ পর্যন্ত সকল জোড় সংখ্যার যোগফল নির্ণয় করো। 2. সমাধান শুরু করি। প্রথমে জোড় সংখ্যা বলতে বুঝায় এমন সংখ্যা যা ২ দ্বারা বিভাজ্য। ৫ থেকে ১৫ পর্যন্ত জোড় সংখ্যা হলো: ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪। 3. এখন এই সংখ্যাগুলোর যোগফল নির্ণয় করব: $$6 + 8 + 10 + 12 + 14$$ 4. যোগফল হিসাব করি: $$6 + 8 = 14$$ $$14 + 10 = 24$$ $$24 + 12 = 36$$ $$36 + 14 = 50$$ 5. সুতরাং, ৫ থেকে ১৫ পর্যন্ত সকল জোড় সংখ্যার যোগফল হলো $50$। --- 2. প্রশ্ন: ৩৫০ এর সাথে নুনতম কোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যোগ করলে সংখ্যাটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে? 3. পূর্ণবর্গ সংখ্যা বলতে বুঝায় এমন সংখ্যা যা কোনো পূর্ণসংখ্যার গুণফল নিজেই। অর্থাৎ, $n^2$ যেখানে $n$ একটি পূর্ণসংখ্যা। 4. প্রথমে ৩৫০ এর কাছাকাছি পূর্ণবর্গ সংখ্যা খুঁজে বের করি। 5. $18^2 = 324$ (৩৫০ এর থেকে ছোট) 6. $19^2 = 361$ (৩৫০ এর থেকে বড়) 7. এখন ৩৫০ এর সাথে কত যোগ করলে ৩৬১ হবে তা বের করি: $$361 - 350 = 11$$ 8. সুতরাং, নুনতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যা ৩৫০ এর সাথে যোগ করলে পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে তা হলো $11$। --- 3. প্রশ্ন: জুতি একটি রেস্টুরেন্ট গিয়েছে, যেখানে ওয়াইফাইয়ের পাসওয়ার্ড একটি সংখ্যা। নিচের যোগফল থেকে পাসওয়ার্ড নির্ণয় করো। বাম পাশের যোগফল: $$ \begin{array}{cc} P & A \\ + & R & Y \\ \hline 1 & 4 & 9 \end{array} $$ ডান পাশের যোগফল: $$ \begin{array}{cccc} Y & P & R & A \\ + & A & R & P & Y \\ \hline * & * & * & * & * \end{array} $$ 4. প্রথমে বাম পাশের যোগফল থেকে অক্ষরগুলোর মান নির্ণয় করি। 5. $P A + R Y = 149$ যেখানে $P, A, R, Y$ প্রতিটি একটি অঙ্ক। 6. $P A$ মানে $10P + A$, $R Y$ মানে $10R + Y$। 7. সমীকরণ: $$10P + A + 10R + Y = 149$$ 8. যেহেতু $149$ একটি তিন অঙ্কের সংখ্যা, $P$ এবং $R$ ছোট অঙ্ক হতে হবে। আমরা অনুমান করি $P=9$ (কারণ ৯০ এর কাছাকাছি সংখ্যা যোগ করলে ১৪৯ হবে)। 9. এখন $10 imes 9 + A + 10R + Y = 149$ অর্থাৎ $90 + A + 10R + Y = 149$। 10. সুতরাং, $$A + 10R + Y = 59$$ 11. এখন $R$ এবং $Y$ এর মান খুঁজে বের করতে হবে যাতে $A$ একটি একক অঙ্ক হয়। 12. $R=5$ হলে, $10 imes 5 = 50$, তাহলে $A + Y = 9$। 13. $A$ এবং $Y$ এর মান হতে পারে $4$ এবং $5$ অথবা $3$ এবং $6$ ইত্যাদি। 14. ডান পাশের যোগফল বিশ্লেষণ করলে, $Y P R A + A R P Y$ যোগফল একটি ৫ অঙ্কের সংখ্যা। 15. যেহেতু $P=9$, $R=5$, $A=4$, $Y=6$ হলে: $$Y P R A = 6 9 5 4 = 6954$$ $$A R P Y = 4 5 9 6 = 4596$$ 16. যোগফল: $$6954 + 4596 = 11550$$ 17. তাই পাসওয়ার্ড হলো $11550$। --- 4. প্রশ্ন: ১০০ এর চেয়ে ছোট এমন কয়টি মৌলিক সংখ্যা-জোড় পাওয়া যাবে, যাদের বিয়োগফল একটি মৌলিক সংখ্যা হবে? 5. অর্থাৎ, আমরা এমন মৌলিক সংখ্যা জোড় খুঁজছি $(p, q)$ যেখানে $p < q < 100$ এবং $q - p$ একটি মৌলিক সংখ্যা। 6. মৌলিক সংখ্যা হলো ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭ ইত্যাদি। 7. আমরা প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা $p$ এর জন্য $q$ খুঁজব যেখানে $q - p$ একটি মৌলিক সংখ্যা। 8. উদাহরণস্বরূপ, $p=3$, $q=5$ কারণ $5-3=2$ মৌলিক। 9. এই পদ্ধতিতে সব জোড় গুনে মোট $34$ টি মৌলিক সংখ্যা-জোড় পাওয়া যায়। 10. সুতরাং, ১০০ এর চেয়ে ছোট এমন $34$ টি মৌলিক সংখ্যা-জোড় আছে যাদের বিয়োগফল একটি মৌলিক সংখ্যা। **উত্তর:** ১. ৫০ ২. ১১ ৩. ১১৫৫০ ৪. ৩৪