1. Montrons que 9 divise $$8^{17} + 4^{24}$$. 2. Vérifions que 10 divise $$15n^2 + 15n$$ pour tout $$n \in \mathbb{N}$$. 3. Déterminons l'ensemble des entiers naturels $$n$$ tels que $$(n+5) \mid (2n+7)$$. 4a. Montrons que si $$d$$ divise $$a$$ et $$b$$, alors $$d$$ divise $$|ac - eb|$$, pour $$a,b,c,d,e \in \mathbb{N}$$. 4b. Déduisons le PGCD $$\gcd(21n + 4, 7n - 1)$$ pour $$n \in \mathbb{N}^*$$. --- **1. Montrer que 9 divise $$8^{17} + 4^{24}$$** 1. Posons $$a = 8^{17} + 4^{24}$$. 2. Travaillons modulo 9. 3. Calculons $$8^{17} \bmod 9$$. Sachant que $$8 \equiv -1 \pmod{9}$$, alors $$8^{17} \equiv (-1)^{17} = -1 \equiv 8 \pmod{9}$$. 4. Calculons $$4^{24} \bmod 9$$. Notons que $$4^3 = 64 \equiv 1 \pmod{9}$$. Donc $$4^{24} = (4^3)^8 \equiv 1^8 = 1 \pmod{9}$$. 5. Ainsi $$a \equiv 8 + 1 = 9 \equiv 0 \pmod{9}$$. Cela signifie que 9 divise $$8^{17} + 4^{24}$$. --- **2. Montrer que 10 divise $$15n^2 + 15n$$ pour tout $$n \in \mathbb{N}$$** 1. Écrivons l'expression : $$15n^2 + 15n = 15n(n+1)$$. 2. Factorisons : $$15n(n+1) = 3 \times 5 \times n \times (n+1)$$. 3. Le produit $$n(n+1)$$ est le produit de deux entiers consécutifs, donc l'un au moins est pair, d'où divisible par 2. 4. Donc $$n(n+1)$$ est divisible par 2. 5. Ainsi $$15n^2 + 15n = 3 \times 5 \times n(n+1)$$ est divisible par $$3 \times 5 \times 2 = 30$$, et donc en particulier divisible par 10. --- **3. Déterminer l'ensemble des entiers naturels $$n$$ tels que $$(n+5) \mid (2n+7)$$** 1. L'hypothèse est que $$n+5$$ divise $$2n+7$$, c'est-à-dire qu'il existe un entier $$k$$ tel que : $$2n+7 = k(n+5)$$. 2. Réécrivons : $$2n + 7 = kn + 5k$$. 3. Isolons $$n$$ : $$2n - kn = 5k - 7$$, soit $$n(2 - k) = 5k - 7$$. 4. Si $$2-k=0$$ alors $$k=2$$ et l'équation devient $$2n+7=2(n+5) = 2n + 10$$, ce qui donne $$7=10$$ absurde. 5. Sinon, $$n = \frac{5k - 7}{2 - k}$$. 6. Pour que $$n$$ soit un entier naturel, le dénominateur divise le numérateur, et $$n \geq 0$$. 7. Posons $$d=2-k$$, alors $$n = \frac{5k - 7}{d} = \frac{5k -7}{2-k}$$. 8. Testons les valeurs entières possibles de $$k$$. Pour $$k=1$$, $$n = \frac{5 -7}{1} = -2$$ non naturel. Pour $$k=0$$, $$n = \frac{0 - 7}{2} = -\frac{7}{2}$$ non entier. Pour $$k=-1$$, $$n = \frac{-5 -7}{3} = \frac{-12}{3} = -4$$ non naturel. Pour $$k=-2$$, $$n = \frac{-10 -7}{4} = -\frac{17}{4}$$ non entier. Pour $$k=3$$, $$n = \frac{15 -7}{-1} = -8$$ non naturel. Pour $$k=4$$, $$n = \frac{20 -7}{-2} = -\frac{13}{2}$$ non entier. Pour $$k=-3$$, $$n = \frac{-15-7}{5} = -\frac{22}{5}$$ non entier. ... mais testons aussi dans l'expression initiale plusieurs valeurs de $$n$$. 9. Vérifions pour $$n=0$$: $$n+5 = 5$$, $$2n +7 = 7$$ non divisible. Pour $$n=1$$: $$6 \nmid 9$$ non. Pour $$n=2$$: $$7 \nmid 11$$ non. Pour $$n=4$$: $$9 \mid 15$$ non. Pour $$n=8$$: $$13 \mid 23$$ non. 10. Conclusion : La seule possibilité est que le quotient soit entier positif, mais ci-dessus il n'y a pas de $$n\in \mathbb{N}$$. 11. Toutefois, vérifions si $$n = 3$$ $$(3+5)=8$$ et $$2\times 3 + 7 = 13$$ non divisible. 12. Par cette méthode, on voit qu'il n'y a aucun $$n$$ naturel qui vérifie. --- **4a. Montrer que si $$d$$ divise $$a$$ et $$b$$ alors $$d$$ divise $$|ac - eb|$$ avec $$a,b,c,d,e \in \mathbb{N}$$** 1. Par hypothèse, $$d \mid a$$ et $$d \mid b$$. 2. Donc il existe des entiers $$k$$ et $$l$$ tels que $$a = kd$$ et $$b = ld$$. 3. Considérons $$|ac - eb|$$. 4. On remarque que $$eb$$ est un multiple de $$b$$ donc de $$d$$ puisque $$d \mid b$$. 5. Par ailleurs, $$ac = c a = c kd = k c d$$, donc divisible par $$d$$. 6. Ainsi, $$ac$$ et $$eb$$ sont divisibles par $$d$$. 7. Par propriété, la différence de deux multiples de $$d$$ est elle-même multiple de $$d$$. 8. Donc $$d \mid |ac - eb|$$. --- **4b. Déduire $$\gcd(21n + 4, 7n - 1)$$ pour $$n \in \mathbb{N}^*$$** 1. On cherche $$\gcd(21n+4, 7n-1)$$. 2. Posons $$a = 21n + 4$$ et $$b = 7n - 1$$. 3. Appliquons l'identité de Bézout et les propriétés du PGCD. 4. Calculons $$a - 3b = (21n + 4) - 3(7n - 1) = 21n + 4 - 21n + 3 = 7$$. 5. Ainsi, $$d = \gcd(a,b)$$ divise $$a - 3b = 7$$. 6. Mais aussi, $$d$$ divise $$b = 7n - 1$$. 7. Puisque $$d \mid 7$$ et $$d \mid 7n - 1$$, il divise la combinaison linéaire: $$d \mid (7n - 1) - n \times 7 = (7n - 1) - 7n = -1$$. 8. Donc $$d$$ divise 1. 9. Le plus grand diviseur commun pouvant diviser 7 et 1 est 1. 10. Donc $$\gcd(21n + 4, 7n - 1) = 1$$. --- **Réponses finales :** 1. 9 divise $$8^{17} + 4^{24}$$. 2. 10 divise $$15n^2 + 15n$$ pour tout $$n \in \mathbb{N}$$. 3. Aucun $$n \in \mathbb{N}$$ ne vérifie $$(n+5) \mid (2n+7)$$. 4a. Si $$d$$ divise $$a$$ et $$b$$ alors $$d$$ divise $$|ac - eb|$$. 4b. $$\gcd(21n + 4, 7n - 1) = 1$$ pour tout $$n \in \mathbb{N}^*$$.