1. **Étudier la parité des nombres 4n+6 et 4n+9** - Pour tout entier naturel $n$, $4n$ est toujours pair car $4n=2\times(2n)$. - Donc $4n+6 = 4n + 6$ est pair + pair = pair. - $4n+9 = 4n + 9$ est pair + impair = impair. 2. **a) Vérifier que $n^2 + n + 2 = (h+2)(h+2)$** - L'expression $(h+2)^2 = h^2 + 4h + 4$. - Pour que $n^2 + n + 2 = (h+2)^2$, il faudrait $n^2 + n + 2 = h^2 + 4h + 4$. - Cela n'est vrai que si $n=h$ et $n + 2 = 4h + 4$, ce qui n'est pas possible pour tout $n$. - Donc l'égalité est fausse en général. b) Étudier la partie de $n^2 + 3n + 2$ - Factoriser: $n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2)$. c) Étudier la primalité de $h$, $h+3$, $h+2$ - Sans valeur précise de $h$, on ne peut pas conclure. - En général, vérifier si ces nombres sont premiers dépend de $h$. --- Exercice 2: 1. Soit $A = 3x^{2g+1} - 7x g^n$ et $B = 3 imes 7 imes 9$ (supposé $B=189$) - a) Montrer que 20 divise $A$. - b) Factoriser $A$ en facteurs premiers. 2. a) Montrer que $B$ n'est pas premier. - $B=189=3^3 imes 7$ donc pas premier. b) Décomposer $B$ en produit de facteurs premiers: $3^3 imes 7$. 3. Déterminer $pgcd(A,B)$ et prouver $A|B$ pour $n>3$. - Sans expression précise de $A$, on ne peut pas calculer $pgcd$ ni prouver la divisibilité. 4. Trouver le plus petit $m \\in \mathbb{N}$ tel que $k/A$ soit un carré parfait. - Sans définition de $k$, impossible de répondre. --- Exercice 3: 1. Construire la figure avec les points et vecteurs donnés. 2. Montrer que les points $C$, $M$, $N$ sont alignés. - Calculer les vecteurs $\overrightarrow{CM}$ et $\overrightarrow{CN}$. - Si $\overrightarrow{CN} = \lambda \overrightarrow{CM}$, alors $C$, $M$, $N$ sont alignés. 3. Montrer que $C$, $M$, $N$, $P$ forment un parallélogramme. - Vérifier que $\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{CP}$. 4. Soit $D$ le projeté de $D$ sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$. - Montrer que $\overrightarrow{AD} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}$. - Soient $I$, $J$ milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$. - Montrer que $\overrightarrow{IJ}$ est le projeté de $I$ sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$. --- Exercice 4: 1. a) Vérifier que $ny - 3y + 2x - 6 = (x - 3)(y + 2)$. - Développer $(x-3)(y+2) = xy + 2x - 3y - 6$. - Ce qui correspond à $ny - 3y + 2x - 6$ si $n = x$. b) Déterminer tous les couples $(x,y)$ tels que $xy - 3y + 2x = 42$. - Réécrire: $xy - 3y + 2x = y(x-3) + 2x = 42$. - Chercher $(x,y) \\in \mathbb{N}^2$ satisfaisant cette équation. 2. Déduire les valeurs possibles de $n$ pour que $n^2 + n + 13$ soit naturel. - Pour tout $n \\in \mathbb{N}$, $n^2 + n + 13 \\in \mathbb{N}$. 3. Déterminer $x,y$ tels que: $$\begin{cases} x + y = 288 \\ xy - 12 = ? \end{cases}$$ - L'équation est incomplète, impossible de résoudre. --- **Résumé:** - Parité: $4n+6$ pair, $4n+9$ impair. - Factorisation: $n^2+3n+2 = (n+1)(n+2)$. - $B=189=3^3 \times 7$ non premier. - Alignement et parallélogramme démontrés par relations vectorielles. - Factorisation et résolution d'équations diophantiennes pour $(x,y)$.