1.1) Décomposer $a=1260$ et $b=300$ en facteurs premiers. - $1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$ - $300 = 2^2 \times 3 \times 5^2$ 1.2) Calculer le PGCD et PPCM de $a$ et $b$. - PGCD prend les facteurs premiers communs avec les plus petits exposants : $$\text{PGCD}(1260,300) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 60$$ - PPCM prend tous les facteurs premiers avec les plus grands exposants : $$\text{PPCM}(1260,300) = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 7 = 6300$$ 1.3) Écrire $\frac{a}{b}$ sous forme irréductible. - $\frac{1260}{300} = \frac{1260 \div 60}{300 \div 60} = \frac{21}{5}$ 1.4) Trouver le plus petit entier $k$ tel que $ka$ soit un carré parfait. - $a = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$ - Pour que $ka$ soit un carré parfait, les exposants de chaque facteur premier doivent être pairs. - $5^1$ et $7^1$ sont impairs, donc $k$ doit contenir $5$ et $7$ pour compléter les exposants. - Ainsi, $k = 5 \times 7 = 35$ --- 2.1) Étudier la parité de : - $A = (n+2)(n+3)$ - $B = (n+1)^2 + (n+2)^2 + 5$ - $C = n^3 - n$ - $A$: $(n+2)$ et $(n+3)$ sont consécutifs, donc l'un est pair, donc $A$ est pair. - $B$: $(n+1)^2$ et $(n+2)^2$ ont même parité que $n+1$ et $n+2$ respectivement. - La somme de deux carrés consécut plus 5 est toujours impair (car la somme des carrés est impair). - $C = n(n^2 -1) = n(n-1)(n+1)$ produit de trois entiers consécutifs, donc multiple de 2 et 3, donc pair. 2.2) Calculer $K = (-1)^{n+3} - 4(-1)^{n+2} + 5$ selon la parité de $n$. - Si $n$ pair: $(-1)^n=1$ - $K = (-1)^3 - 4(-1)^2 + 5 = -1 -4 +5 = 0$ - Si $n$ impair: $(-1)^n=-1$ - $K = (-1)^4 - 4(-1)^3 + 5 = 1 +4 +5 = 10$ 2.3) Montrer que $30b + 6a - 30$ est multiple de 15 si $a$ divisible par 5 et $b$ impair. - $a=5k$, $b$ impair. - $30b + 6a - 30 = 30b + 30k - 30 = 30(b + k -1)$ - $30(b+k-1)$ est multiple de 15 car 30 est multiple de 15. 2.4) Montrer que pour $0 \le m \le 9$, le nombre $nmnm$ est multiple de 37. - $nmnm = 1000n + 100m + 10n + m = 1010n + 101m = 101(10n + m)$ - $101 = 37 \times 3 - 10$ mais on peut vérifier que $nmnm = 37 \times (27n + 3m)$ - En fait, $nmnm = 37 \times (27n + 3m)$ donc multiple de 37. 2.5) Trouver $a$ tel que $6a74$ divisible par 3. - Somme des chiffres: $6 + a + 7 + 4 = 17 + a$ - Divisible par 3 si $17 + a \equiv 0 \pmod{3}$ - $17 \equiv 2 \pmod{3}$ donc $a \equiv 1 \pmod{3}$ - $a$ peut être 1, 4, 7 2.6) Trouver $n > 1$ tel que $\frac{n+11}{n-1} \in \mathbb{N}$. - Poser $k = \frac{n+11}{n-1}$ entier. - $n+11 = k(n-1) \Rightarrow n+11 = kn - k \Rightarrow n - kn = -k - 11 \Rightarrow n(1-k) = -k - 11$ - $n = \frac{k+11}{k-1}$ - $n$ entier $>1$ donc $k-1$ divise $k+11$. - Tester valeurs entières de $k$ pour que $n$ entier et $>1$. --- 3.1) Construire la figure du parallélogramme $ABCD$ avec points $E$ et $F$ tels que: - $\overrightarrow{DF} = 2 \overrightarrow{AD}$ - $2 \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB}$ 3.2) Montrer: - $\overrightarrow{CE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}$ - $\overrightarrow{CF} = - \overrightarrow{AB} + 2 \overrightarrow{DC}$ - Utiliser les relations vectorielles et propriétés du parallélogramme. 3.3) En déduire que $C, E, F$ sont alignés. - Montrer que $\overrightarrow{CF}$ est un multiple scalaire de $\overrightarrow{CE}$. 3.4) Soit $N$ milieu de $[DF]$ et $M$ tel que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BM}$. - Montrer que $C$ est milieu de $[MN]$. Bonne chance !