1. **Problème : Montrer que le nombre $n(n+k)$ est pair.** 2. Rappel : Un produit est pair si au moins un des facteurs est pair. 3. $n(n+k) = n \times (n+k)$. Si $n$ est pair, alors le produit est pair. 4. Si $n$ est impair, alors $k$ doit être pair pour que $n+k$ soit pair, car impair + pair = impair, impair + impair = pair. 5. Donc dans tous les cas, $n(n+k)$ est pair. 1. **Calcul de $A = 5 \times (-1)^2 + 8 \times (-1)^4 - 11 \times (-1)^6$.** 2. Calcul étape par étape : $$(-1)^2 = 1$$ $$(-1)^4 = 1$$ $$(-1)^6 = 1$$ 3. Donc: $$A = 5 \times 1 + 8 \times 1 - 11 \times 1 = 5 + 8 - 11 = 2$$ 1. **Montrer que $B = 3n^2 - 4 \times 3n$ est divisible par 5 et un multiple de 15.** 2. Simplifions : $$B = 3n^2 - 12n = 3n(n-4)$$ 3. Pour $B$ divisible par 5, $n(n-4)$ doit être multiple de 5. 4. Puisque $n$ est un entier naturel, soit $n \equiv 0 \pmod{5}$ ou $n \equiv 4 \pmod{5}$ assure que $B$ est divisible par 15. 1. **Montrer propriétés de divisibilité:** 2. Si $c \mid a$ et $c \mid b$, alors $c \mid (a+b)$ car $a=cm$, $b=cn$, donc $a+b=c(m+n)$. 3. Si $c \mid b$ et $b \mid a$, alors $a = bk = cml$ pour certains entiers, donc $c \mid a$. 1. **Partie A:** Montrer que 101 est premier est admis. 2. Décomposition de $a=2020$ et $b=1008$ avec $101$ premier. 3. Trouver $(n,m,p)$ tel que $a=2^n \times 5^m \times 101^p$. 4. $2020 = 2^2 \times 5^1 \times 101^1$, donc $n=2, m=1, p=1$. 5. Déterminer $a \wedge b$ (PGCD) et $a \vee b$ (PPCM). Pour $b=1008=2^4 \times 3^2 \times 7$, donc : $$a \wedge b = 2^{\min(2,4)} \times 5^{\min(1,0)} \times 7^{\min(0,1)} \times 3^{\min(0,2)} \times 101^{\min(1,0)} = 2^2 = 4$$ $$a \vee b = 2^{\max(2,4)} \times 3^{\max(0,2)} \times 5^{\max(1,0)} \times 7^{\max(0,1)} \times 101^{\max(1,0)} = 2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7 \times 101 = 35280$$ 6. Montrer que $$\sqrt{\frac{a \vee b}{7a}} \in \mathbb{N}$$ 7. Calculons: $$\frac{a \vee b}{7a} = \frac{35280}{7 \times 2020} = \frac{35280}{14140} = 2.5$$ Il faut vérifier l'énoncé ou si on se place en valeurs ajustées. 8. Montrer que $x^{101} - 1$ n'est pas premier car $x^{101} - 1$ se factorise en $(x-1)(x^{100} + x^{99} + \ldots + 1)$, donc divisible par $x-1$. 1. **Partie B:** Décomposer $A = 13 \times 3^{n+1} - 4 \times 3^n$ et $B = 25 \times 3^{n-1} - 5 \times 3^n$ en facteurs premiers. 2. Factoriser $A$ : $$A = 3^n (13 \times 3 - 4) = 3^n (39 - 4) = 3^n \times 35 = 3^n \times 5 \times 7$$ 3. Factoriser $B$ : $$B = 3^{n-1} (25 - 5 \times 3) = 3^{n-1} (25 - 15) = 3^{n-1} \times 10 = 3^{n-1} \times 2 \times 5$$ 4. Déterminer $A \vee B = $ PPCM et $A \wedge B = $ PGCD: - PGCD : Min des puissances sur bases communes \ PGCD$(A,B) = 3^{n-1} \times 5$ - PPCM : Max des puissances PPCM$(A,B) = 3^n \times 2 \times 5 \times 7$ 5. Calculs: $$A \times B = (3^n \times 35)(3^{n-1} \times 10) = 3^{2n-1} \times 350$$ $$ (A \vee B) \times (A \wedge B) = (3^n \times 2 \times 5 \times 7)(3^{n-1} \times 5) = 3^{2n - 1} \times 350 $$ 6. Conclusion : $$ A \times B = (A \vee B) \times (A \wedge B) $$ 7. Pour $ab=2880$ et $a \wedge b=24$, exemples : $a=96$, $b=30$ car $96 \times 30 = 2880$ et $\text{PGCD}(96,30)=24$.