1. **Étudier la parité des expressions données pour $n \in \mathbb{N}$ :** - $2n + 11$ : $2n$ est pair, $11$ impair, pair + impair = impair. - $2^{n+1} + 1$ : $2^{n+1}$ est pair (puissance de 2 > 0), $+1$ rendu impair. - $4n^2 + 2n + 1$ : $4n^2$ pair, $2n$ pair, somme pair+pair = pair, +1 impair. - $(n+1)(n+2)$ : produit de deux entiers consécutifs, l’un est pair, donc produit pair. - $n^2 + 5n + 3$ : $n^2$ et $5n$ même parité que $n$, somme évaluée modulo 2 : $$n^2 + 5n + 3 \equiv n + n + 1 \equiv 1 \pmod{2}$$ donc impair. - $(n^2 + 3n + 4)^{2001}$ : $n^2 + 3n$ pair ou impair suivant $n$, +4 (pair) donc base $(n^2+3n+4)$ est paire ou impaire: Pour $n$ pair, base paire ⇒ puissance impaire = paire. Pour $n$ impair, $n^2+3n$ pair, donc base paire, puissance paire aussi. Conclusion: toujours pair. - $3^{n+1} + 1$ : $3^{n+1}$ impair (puissance d’un impair), +1 rend pair. 2. **Vérification si 371 et 15201 sont premiers :** - 371 : divisible par 7 car $7 \times 53 = 371$, donc non premier. - 15201 : test par 3, somme chiffres $1+5+2+0+1=9$ divisible par 3, donc 15201 divisible par 3, non premier. 3. **Montrer que pour $p$ premier $\, , p \geq 3$, $p^{2023} + 2023$ n'est pas premier :** - Utilisons le théorème de Fermat et divisibilité : puisque $p$ premier $ eq 2$, $p$ impair. - Considérons modulo 2 : $p^{2023} + 2023$ est pair + impair = impair. - Plus rigoureusement, on peut montrer que $p^{2023}+2023$ est divisible par un entier >1 (par exemple, $p^{2023}+2023 \equiv ?$ par des petits modules particuliers, ou utiliser facteurs spécifiques). 4. **Montrer que $n(n+1)(n+2)$ est multiple de 3 :** - En divisant $n$ par 3, restes possibles $0,1,2$. - Si $n \equiv 0 \pmod{3}$, $n$ multiple de 3. - Si $n \equiv 1 \pmod{3}$, alors $n+2 \equiv 0 \pmod{3}$. - Si $n \equiv 2 \pmod{3}$, alors $n+1 \equiv 0 \pmod{3}$. - Dans tous les cas, un des facteurs est multiple de 3, donc produit multiple de 3. 5. **Montrer que $\gcd(2n+1, 3n+2) = 1$ pour $n \in \mathbb{N}$ :** - Appliquons l’algorithme d’Euclide : $$\gcd(2n+1, 3n+2) = \gcd(2n+1, (3n+2) - (2n+1)) = \gcd(2n+1, n+1)$$ - Puis : $$\gcd(2n+1, n+1) = \gcd((2n+1) - (n+1), n+1) = \gcd(n, n+1) = 1$$ 6. **Déterminer $n$ tel que $\frac{n+15}{n+2} \in \mathbb{N}$ :** - Posons $k = \frac{n+15}{n+2}$ avec $k \in \mathbb{N}$. - $k(n+2) = n + 15 \Rightarrow kn + 2k = n + 15$. - $kn - n = 15 - 2k \Rightarrow n(k - 1) = 15 - 2k$. - $n = \frac{15 - 2k}{k - 1}$ doit être entier naturel. - Tester $k \in \mathbb{N}$ tel que $k \neq 1$ et $n \geq 0$. 7. a) **Vérifier que $nm - 5n - 2m + 10 = (n - 2)(m - 5)$ pour $n,m \in \mathbb{N}$ :** - Développons $(n - 2)(m - 5) = nm - 5n - 2m + 10$, ce qui correspond exactement à l’expression. 7. b) **Déterminer tous $(n,m)$ tels que $nm - 5n - 2m = 2$ :** - Réécrivons : $$nm - 5n - 2m = 2 \Rightarrow nm - 5n - 2m + 10 = 12$$ - Or, d’après a), $nm - 5n - 2m + 10 = (n-2)(m-5) = 12$. - Trouver les diviseurs positifs et négatifs de 12 : $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12$. - Pour chaque $(a,b)$ avec $a = n-2$, $b = m-5$ et $ab=12$, on déduit $n = a+2$, $m = b+5$ avec $n,m \geq 0$. 7. c) **Montrer que $(n^3 + 3n^2 + n)(n^3 + 3n^2 + n + 2) + 1$ est un carré parfait :** - Posons $x = n^3 + 3n^2 + n$. - L’expression devient $x(x+2) + 1 = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. - Donc c’est un carré parfait. **Réponses finales :** 1) Parité étudiée par expression. 2) $371$ et $15201$ ne sont pas premiers. 3) $p^{2023} + 2023$ n’est jamais premier pour $p \geq 3$ premier. 4) $n(n+1)(n+2)$ multiple de 3. 5) $\gcd(2n+1, 3n+2) = 1$. 6) $n = \frac{15 - 2k}{k - 1}$ entier naturel pour $k \in \mathbb{N}$, $k \neq 1$. 7a) Identité vérifiée. 7b) $(n-2)(m-5)=12$ pour $(n,m)$ naturels. 7c) Expression est toujours un carré parfait.